рівняння для визначення. p> Використовуючи аналітичність функцій, які в нього входять, будемо функцію розшукувати у вигляді ряду
, i = 1, 2. (1.12)
Прямим обчисленням переконуємося в тому, що коефіцієнти в розкладанні (1.12) є поліномами від і. Так, наприклад,
,
Таким чином, коефіцієнти? статечні функції коефіцієнтів, а останні в свою чергу є поліномами від і. Внаслідок такої структури коефіцієнтів ряд (1.12) визначає періодичну функцію періоду, тобто при зміні на величина повертається до свого початкового значення. Якщо при цьому виявиться, що зберігає знак, то це і буде означати, що фазова траєкторія замкнута. p> Таким чином, рішення системи (1.8)? функції і? будуть періодичними функціями часу.
Функції та є аналітичними по параметру. Справді, в силу аналітичності правих частин системи (1.8) її рішення будуть аналітичними функціями початкових значень
,.
Постійне так само визначається цими значеннями
. (1.13)
Так як праві частини системи (1.8) не залежать від часу, то без обмежень спільності початкові умови можна записати у вигляді
,. (1.14)
Звідси видно, що рішення системи (1.8) являють собою аналітичні функції.
5. Теорема Ляпунова
Тепер обчислимо період, для цього складемо диференціальні рівняння, яким задовольняють змінні? і?. Обчислимо
(1.15)
Замінюючи в системі (1.15) похідні та їх виразами з рівнянь (1.8) і дозволяючи отриману систему відносно похідних і, знайдемо шукані рівняння
(1.16)
З другого рівняння визначимо t:
(1.17)
Для того щоб задовольнити умовам (1.13), необхідно константу (1.17) прийняти рівною нулю. Використовуємо той факт, що? - Аналітична функція?. Це дозволить розкласти подинтегральную функцію у виразі (1.17) в ряд за ступенями? br/>
(1.17)
де - періодичні функції? періоду 2?. Отже, подинтегральная функція в (1.17) також періодична функція? періоду 2?. Отже, інтеграл
В
не залежить від? 0 і його можна записати у вигляді
,
де - цілком певні числа. Таким чином, при зрадь? на 2? час t одержує приріст Т
, (1.18)
не залежні від? 0. p> Нехай тепер Ф (?) - деяка періодична функція? періоду 2?, тоді
. (1.19)
Розглядаючи її як функцію t, матимемо
. (1.20)
Рівність (1.19) справедливо для будь-яких?, отже, і рівність (1.20) справедливо для будь-яких t, тобто Ф (t) - періодична функція t. Значить, величина Т, певна формулою (1.18) як функція?, І є період рішення. p> Використовуючи (1.17), ми можемо записати його в наступному вигляді:
В
де період Т прагне до періоду лінійних коливань 2? /?, тобто до періоду коливань в системі (1.8) при.
Покажемо т...
