ма (1.5) описує коливання з постійною амплітудою, оскільки її характеристичне має пару чисто уявних коренів.
Виключаючи з рівняння (1.5) змінну, отримаємо
(1.6)
Для того, щоб вдовольнилося умова 1), коефіцієнт при має дорівнювати нулю, тобто має бути і, крім того, повинно мати місце нерівність
.
Зробимо заміну
,, (1.7)
де? арифметичне значення кореня.
Таким чином, отримаємо
В
Як ми бачимо за допомогою заміни (1.7) рівняння (1.6) зводиться до еквівалентної системи двох рівнянь
.
Також
(1.7)
Тому, якщо у вихідній системі (1.1) зробити заміну (1.7), то ця система буде приведена до вигляду (1.8).
(1.8) - система Ляпунова в канонічному вигляді
де і? аналітичні функції своїх змінних, розкладання яких починається з членів другого порядку малості. Таким чином, замість системи (1.1) нам досить розглянути систему (1.8). br/>
3. Перетворення інтеграла H
Зупинимося ще на вираженні інтеграла. Згідно з положенням 2) його уявлення має вигляд
, (*)
де? деяка постійна.
Але спочатку розглянемо ситуацію, коли перший інтеграл має вигляд:
(1.9)
Так як (1.9)? перший інтеграл, то вздовж кожної кривої сімейства (1.8) він має звертатися до 0.
Тоесть
.
Підставами і отримаємо
В
Порівнюючи коефіцієнти при, і, отримаємо
При y:
При х:
При ху:
При х2:
При у2:
Звідси =, D = E. Не порушуючи спільності можна прийняти. p> Отже, інтеграл H можна представити у вигляді
, (1.10)
де? аналітична функція своїх змінних, розкладання якої починається з членів не нижче третього порядку малості,? деяка постійна, яку завжди ми можемо вважати позитивною для досить малих і.
Таким чином, ми бачимо, що подання першого інтеграла завжди має вигляд (*) і, крім того, його можна представити у вигляді (1.10)
. Періодичність рішень системи Ляпунова
Доведемо тепер, що існує періодичне рішення системи (1.8) для досить малих значень. І що це рішення? періодичні функції. Для цього достатньо довести, що фазові траєкторії в площині замкнуті і зберігає знак. Для цього введемо полярні координати
;
і зауважимо, що будь-яка замкнута траєкторія повинна бути періодичною функцією аргументу. Складемо вираз для:
(1.11)
Тут? аналітична функція, розкладання якої має вигляд
В
Отже, у формулі (1.11) функція може бути представлена ​​у вигляді ряду
,
причому, всі коефіцієнти? поліноми від і, тобто періодичні функції. Таким чином, вираз (1.11) можна переписати так:
В
Це рівність ми можемо розглядати як ...
