е Мезірьяка Problemis plaisans et delectables que se font par les nombres , яка вийшла в 1624 році, розглядається невизначений рівняння ax + by = c.
Баше де Мезірьяк фактично застосовує процес, який призводить до подальшого обчисленню неповних частин і розгляду додаткових дробів. Але він не розглядав безперервні дробу як такі. p align="justify"> Відома робота Баше де Мезірьяка зробила сильний вплив на розвиток теорії чисел, так як сприяла виникненню інтересу до цієї галузі математики.
Ланцюгові дроби до вирішення таких рівнянь були застосовані Лагранжем, який, однак, акцентує увагу на те, що це фактично той же спосіб, який був даний Баше де Мезірьяком та іншими математиками, які розгледіли невизначений рівняння до нього .
Невизначені рівняння першого ступеня стали записувати і вирішувати у формі порівнянь значно пізніше, починаючи з Гауса. Він вперше систематизував теорію і визначив поняття порівняння в своїй книзі Disquisitiones arithmeticae (В«Досягнення в арифметиціВ»). У В«Disquisitiones arithmeticaeВ» Гаусс виклав все істотне, що було відомо в теорії чисел до нього, але часто виходячи з більш загальних і більш принципових міркувань. Крім того, В«Disquisitiones arithmeticaeВ» в четвертому, п'ятому та сьомому своїх розділах містять три найбільших відкриття самого Гауса: доказ квадратичного закону взаємності, композицію класів та пологів квадратичних форм і теорію розподілу кола. Квадратичний закон взаємності є центральною теоремою теорії квадратичних лишків, доказ якої довго і безуспішно намагалися отримати найбільші математики того часу. Дослідження Гаусса за квадратичним і, пізніше, за біквадратичних законом взаємності послужили вихідним пунктом довгого ряду робіт, що призвели в кінцевому підсумку до відшукання загального закону взаємності, що представляє собою одну з важливих теорем теорії алгебраїчних чисел.
Ставлення, зване порівнянням, було введено К. Гаусом (1777-1855). К. Гаусс створює теорію порівнянь, звану інакше арифметикою залишкових класів, за допомогою якої були доведені теорема про те, що просте число є сумою двох квадратів тоді і тільки тоді, коли воно має вигляд 4n + 1, і теорема про уявність кожного натурального числа сумою чотирьох квадратів цілих чисел. Крім того, теорія порівнянь привела до важливих понять теоретико-числового характеру і тригонометричної суми. Найпростішим характером є символ Лежандра. p align="justify"> К. Гаусс вивчив властивості квадратичних лишків і невирахувань. Основний теоремою в цьому колі питань є так званий квадратичний закон взаємності. Перше велике твір Гауса з теорії чисел і вищої алгебри - "Арифметичні дослідження" (1801) - багато в чому визначило подальший розвиток цих дисциплін. Гаусс дає тут грунтовну теорію квадратичних лишків, перший доказ квадрати...
