Гамільтона та Гамільтона-Якобі, існує ще один метод - метод інтегрування рівняння Ліувілля. Однак для системи з величезним числом часток цей метод настільки ж непридатний і настільки ж не потрібен, як і всі інші, а для вирішення завдань макроскопічної нерівноважної фізики слід переходити до імовірнісних методам.
Введемо з цією метою n-часткові функції розподілу
. (4)
Ці функції підпорядковані наступному з (1) умові нормування:
, (5)
і якщо ми надаємо імовірнісний зміст функції F (N) (х1, ...., xN, t),
то й функції набувають статистичну інтерпретацію. Тут і надалі ми опускаємо для стислості індекс (N) в позначенні F (nN). Вираз є ймовірність того, що перші п частинок системи (а не ансамблю систем!) мають координати і швидкості, що лежать в межах (Ri, ri + dri), (vi, vi + dvi). p> Виведемо систему диференціальних рівнянь, яким підкоряються функції. Помножимо з цією метою рівняння (2) на і проинтегрируем отримане рівність, користуючись виразом (3):
(6)
Зауважимо тепер, що в цьому рівнянні третій, шостий і сьоме доданки тотожно рівні нулю. Дійсно, кожне з цих доданків являє собою інтеграл від тривимірної дивергенції: третій доданок - у просторі координат молекули i, шосте і сьоме-в просторі швидкостей молекули i. По теоремі Гауса вони можуть бути перетворені в інтеграл по граничної поверхні. Але функція Fn звертається в нуль, коли координати будь частинки газу відповідають точкам, лежачим на абсолютно непроникною стінці судини і, з іншого боку, функція розподілу Fn прагне до нуля, коли. Тому інтеграл від дивергенції дорівнює нулю і в координатному просторі, і в просторі швидкостей. З іншого боку, п'яте доданок в (6) можна перетворити в такий спосіб. Окремі доданки суми по k відрізняються лише позначенням змінної інтегрування
.
Таким чином, отримуємо остаточно систему рівнянь
. (7)
Ця система в зарубіжній літературі називається зазвичай ББКГІ-системою (Борн, Боголюбов, Кірквуд, Грін, Івон). Ми будемо надалі для стислості, а також тому, що Боголюбову належить найбільш детальний її аналіз, називати її системою рівнянь Боголюбова. у формулі (7) є оператор Ліувілля для підсистеми з п частинок. Система рівнянь Боголюбова є В«зачіпляютьсяВ», так як рівняння для функції Fn містять в правій частині функцію Fn +1. Фізично це відображає факт незамкнутости будь-якої групи з n молекул (n
Зауважимо, що останнє рівняння системи (7) для функції Fn є замкнутим і тотожним рівнянню Ліувілля (2). З математичної точки зору інтегрування системи рівнянь (7) варто було б починати з інтегрування цього рівняння. При цьому, природно, не потрібн...
