о це мінімальне значення через
.
Функція, что задана у всех точках, простору,, назівається функцією Беллмана.
Припустиме, что,, - Оптимальний процес и оптимальна Траєкторія задовольняє початковій умові. Тоді
В
візначає цільовій функціонал (2) початкової задачі.
Розглянемо ПРИРІСТ и відповідній Йому момент годині. Очевидно, что Останнє співвідношення можна переписати так:
. (9)
Відповідно до принципом оптімальності, відрізок оптімальної Траєкторії від точки до точки такоже є оптимальною траєкторією, тоб
,
того співвідношення (9) можна переписати у вігляді
. (10)
Очевидно, что другий доданок в (10) покладів від стану системи (оскількі оптимальне значення функціонала поклади від початкових стану системи и для шкірного початкова стану оптимального значення функціонала різне). У цею стан, у свою черго, система попадає под дією Керування, Яку Діє на інтервалі годині. Отже, Значення залежатіме від Вибори Керування на відрізку.
Дійсно, розглянемо Різні пріпустімі Керування на відрізку. Їм відповідатіме набор траєкторій, что Прокуратура: Із точки, яка лежить на оптімальній Траєкторії. На Кожній Траєкторії Із цього набору фазові точка в момент годині потрапляючи в Деяк стан.
Віберемо Керування на відрізку так, щоб Траєкторія на цьом відрізку булу оптимальною. Це оптімальне Керування в загально випадка різне для кожної Траєкторії пучка. Очевидно, что вібіраючі ОДНЕ - оптімальне - среди всех можливіть Керування, для кожної Із траєкторій, ми фіксуємо подалі стан кожної Із них и при цьом одержуємо мінімальне Значення функціонала
,
Яке дорівнює
.
Очевидно, то багато Значення поклади від стану . А оскількі, Як було ВСТАНОВЛЕНО раніше, стан залежався від Вибори Керування на відрізку , То й Значення такоже залежатіме від того, Яким Було звертаючись Керування,.
Розглянемо Значення функціонала на траєкторіях з набору, побудованого Вище прі. Оскількі відрізок кожної Траєкторії від точки до точки є оптимальним відповідно до принципом максимуму, то Значення функціонала дорівнює
. (11)
Ясно, что Останнє співвідношення різне для кожної з траєкторій и відповідного Цій Траєкторії Керування на відрізку. Віберемо среди всех значень мінімальне. Оскількі Обидва доданкі в (11) залежався Тільки от Вибори Керування на інтервалі, то и мінімальне значення (11) залежатіме Тільки від Вибори Керування на цьом інтервалі, тоб
.
Побудованій набор траєкторій є підмножіною більш шірокої множини всех Припустиме функцій, на якіх шукається найменша Значення функціонала. Тому в загально випадка має місце нерівність
. (12)
Альо оскількі оптимальна Траєкторія захи до побудованого набору траєкторій, то в співвідношенні (12) насправді має місце Рівність, тоб
<...
