p>.
Звідсі з урахуванням (11) одержимо
, (13)
тоб Оптимізація процеса проводитися Тільки для, того что для Траєкторія Вже оптимальна.
Розглянемо поведінку последнего співвідношення при, тоб коли Інтервал, на якому шукається оптімальне Керування, звужується до точки. Відповідно до закону руху
.
Вважатімемо, что функція Беллмана неперервно діференційована по всех своих аргументах. Тоді
(14)
Позначатімемо далі
.
Співвідношення (14) з урахуванням цього позначені Набуда вигляд
.
Вікорістовуючі Останнє співвідношення, Рівність (13) можна податі у вігляді
(15)
Оскількі Функції и у правій частіні (15) НЕ залежався від, їх можна вінесті за знак мінімуму. После СКОРОЧЕННЯ одержимо
.
Припустиме, что функція є неперервно на відрізку. Розділівші Останнє співвідношення на, при одержимо
. (16)
Останнє співвідношення назівається рівнянням Беллмана. Воно є аналогом рекурентних рівнянь Беллмана діскретної задачі оптимального Керування для випадка неперервної системи.
Замінівші на, де - оптимальна Траєкторія, одержимо з (16)
. (17)
До рівняння Беллмана додаються крайові умови, что віплівають безпосередно з визначення Функції Беллмана:
. (18)
Рівняння Беллмана - це діференціальне рівняння в Частинами похідніх відносно Функції. Альо це рівняння НЕ є лінійнім через наявність у (17) Операції мінімізації. Фактично це означає підстановку в рівняння такого, на якому досягається мінімум и Яке змінюється в залежності від значення І.
5 Рівняння Беллмана в задачі з фіксованімі кінцямі та вільним годиною
Додамо до задачі (2), (6), (9) умову закріплення правого кінця Траєкторії, де - задано, а - невідомо. У цьом випадка функція Беллмана залежатіме Тільки от потокового стану системи. Дійсно, згідно з визначеня Функції Беллмана
.
Если підінтегральна функція НЕ поклади від , То значення інтеграла при фіксованіх и покладів Тільки от довжина інтервалу інтегрування, Який можна візначіті з автономної системи (6), ЯКЩО відомі точки и фазової Траєкторії. Тому різниця - це функція від аргументів и , А не залежиться явно від. У цьом випадка и рівняння Беллмана для задачі Із закріпленімі кінцямі набуває вигляд
.
6 Рівняння Беллмана в задачі швідкодії
Розглянемо задачу оптімальної швідкодії з фіксованімі кінцямі и вільним годиною, закон руху Якої має вигляд (6) i задані початковий стан та кінцевій стан. Година Невідомий и его нужно найти з умови мінімізації цільового функціонала
.
У задачі з фіксованімі кінцямі и вільним годиною функція Беллмана поклади Тільки от потокового стану системи и НЕ покладів від моменту, починаючі з Якого розглядається ее...
