При цьому повинні виконаються наступні умови: 1) об'єднання всіх підмножин має збігатися з самим безліччю; 2) перетин будь-яких двох підмножин пусто Втім, виконання другої властивості необхідно лише в задачах на підрахунок об'єктів. У завданнях на доказ це умова необов'язково.
Виходячи з вищесказаного, при вирішенні задач методом розкладання класу на підмножини можуть виникнути помилки двох видів:
1) існують об'єкти, які не були розглянуті: (неповний перебір).
Завдання А1: У математичному гуртку займається 20 учнів. Їм задали додому 20 завдань. Виявилося, що кожен член гуртка вирішив рівно 2 завдання, і кожна задача вирішена рівно двома учнями. Доведіть, що керівник гуртка зможе так організувати розбір всіх завдань, що кожен учень розповість рішення задачі, яку він сам вирішив. Якщо зможе, то скількома способами? [6]
Рішення: Накреслимо граф, в якому вершини - учні, ребра - завдання. Якщо дві вершини (учня) з'єднані ребром (завданням), значить учні вирішили одну і ту ж задачу. Від кожної вершини відходить рівно два ребра, так як кожен вирішив рівно два завдання. Якщо цей граф розгорнути, то вийде замкнутий контур (див. малюнок). Наочно зрозуміло, що існує два способи розподілу завдань. Вони будуються таким чином. Перший: учень В«1В» розповідає завдання В«з1В», учневі В«2В» залишається розповісти лише завдання В«З2В», учневі В«3В» - В«з3В» і так далі, учень В«20В» розповідає завдання В«з20В». Другий: учень В«1В» розповідає завдання В«з20В», учень В«20В» - В«з19В», ..., учень В«2В» - розповідає завдання В«з1В». Виходить, що викладач зможе організувати розбір завдань двома способами.
Аналіз помилки. Чи не розглянуто випадок, коли граф складається з декількох замкнутих частин, наприклад такий граф (див. малюнок). У цьому випадку розбір може бути здійснений 2 n способами, де n - кількість контурів. Причина в тому, що при складанні ланцюжка від якогось учня школяр не розглядає випадок її замикання раніше, ніж на 20 ланці. Таким чином, учень справив неповний перебір: не розглянув випадок незв'язного графа.
2) у розкладанні існує дві підмножини B i і B k такі, що.
Розглянемо завдання, в яких потрібно порахувати кількість об'єктів, задовольняють даному умові. p> Завдання А2: Скільки існує позитивних чисел, менших 100, які діляться на 2 або на 3.
Рішення: Чисел, діляться на 2 - 49. Чисел, що діляться на 3 - 33. Чисел, що діляться на 2 або на 3: 49 + 33 = 82. p> Відповідь: 82.
Аналіз помилки: При вирішенні даної задачі не було враховано існування чисел, які діляться на 6 (на 2 і на 3). У результаті такі числа були підраховані два рази: перший - як що діляться на 2, другий - як діляться на 3.
При вирішенні такого роду завдань (завдань на підрахунок кількості елементів, які відповідають умові задачі), слід розділяти безліч всіх об'єктів на попарно непересічні безлічі або якимось чином враховувати їх перетину.
Інша справа, якщо ми проводимо окремо для кожного безлічі, об'єднання яких дає весь клас, небудь побудова, знаходження (скажімо, коренів рівняння) або доказ. Перетин множин при цьому може бути і не порожнім, на результат це не впливає. Головне, щоб кожен з об'єктів належав хоча б до одного з розглянутих множин. В іншому випадку рішення буде неповним. Наведемо приклад:
Приклад А3: Всі трикутники рівновеликі.
Рішення: Нехай боку трикутника D дорівнюють a , b , c , відповідні висоти h a , h b , h c , площа дорівнює S .
Для позначення трикутників будемо використовувати ті ж позначення тільки з відповідним числом штрихів.
Так як S = ah /2 , то:
;
(1)
.
(2)
З (1) і (2) випливає:
;
.
Отже,
,
або:
.
(3)
Помноживши обидві частини рівності (3) на і розкривши дужки, отримаємо:
.
(4)
Додавши до обох частин рівності (4) різницю, отримаємо:
.
(5)
