З визначення 1.2. видно, що функція залежить від параметрів т 0 і m 1 є періодичною по m 0 і m 1 , з періодами відповідно 2 і 2 ? -2 тобто існує, взагалі кажучи, ? ( k ), =
З огляду на те, що індекс числа або система індексів числа періодичні з періодом, рівним модулю функції, адитивні, тобто індекс твору (відповідно система індексів твору) дорівнює сумі індексів співмножників (відповідно сумі систем індексів співмножників ), отримуємо такі властивості характеру ? (п):
1. за модулем k-періодична з періодом k функція, тобто
;
2. -мультиплікативна функція, тобто
Очевидно також, що
? (1) = 1.
L-ряди Діріхле - функції комплексної змінної, подібні дзета-функції Рімана, введені Діріхле при дослідженні питання про розподіл простих чисел в арифметичній прогресії. Скрізь нижче під L-поруч будемо розуміти L-ряд Діріхле. p align="justify"> Нехай k - натуральне число і ? - -якої характер по модулю k.
Визначення 1.3. L-функцією називається ряд Діріхле види:
В
З огляду на те, що | ? ( n) |? 1, слід аналітичність L (s ,?) у півплощині Re s> l. Для L (s ,?) має місце аналог формули Ейлера (ейлеровское твір).
Лемма 1.1. При Re s> 1 справедливо рівність
В
Доказ. При X> 1 розглянемо функцію
В
Так як Re s> 1, то
В
отже,
В
(
