ign = "justify"> -1? x; Y1 ? x + y2 ? x + ... + yn ? < span align = "justify"> x
Кожне складова цих сум висловлює площа, отриманих прямокутників з основою ? х, яке є шириною прямокутника, і довжиною вираженою через yi: Sпр = a * b = yi? x .
Кожна з цих сум є інтегральною сумою для f (x) на відрізку [a, b], і дорівнює площі східчастих фігур, а значить наближено виражає інтеграл. Винесемо ? x = (ba)/n із кожної суми, отримаємо:
f (x) dx?? x (y0 + y1 + ... + yn-1);
f (x) dx?? x (y1 + y2 + ... + yn).
Висловивши x, отримаємо остаточно:
f (x) dx? ((b-a)/n) (y0 + y1 + ... + yn-1); (1)
f (x) dx? ((b-a)/n) (y1 + y2 + ... + yn); (1 *)
Це і є формули прямокутників. Їх дві, тому що можна використовувати два способи заміни підінтегральної функції. Якщо f (x) - позитивна і зростаюча функція, то формула (1) виражає S фігури, розташованої під графіком, складеної з вхідних прямокутників, а формула (1 *) - площа ступінчастою фігури, розташованої під графіком функції складеної з виходять трикутників.
Помилка, чинена при обчисленні інтегралів за формулою прямокутників, буде тим менше, чим більше число n (тобто чим менше крок ділення
В
Для обчислення похибки цього методу використовується формула:
=
де Результат отриманий за формулою (1) завідомо дає велику площу прямокутника, так само за формулою (1 *) дає свідомо меншу площу, для отримання середнього результату використовується формула середніх прямокутників
(1 **)
2.2 Формула трапецій
Візьмемо певний інтеграл
? f (x) dx
де f (x) - безперервна подинтегральная функція, яку ми для наочності будемо припускати позитивною. При обчисленні інтеграла за допомогою формули трапецій подинтегральная функція f замінюється функцією, графік якої являє собою ламану лінію (на малюнку 2 червоним кольором), ланки якої з'єднують кінці ординат yi-1 і yi (i = 1,2, ..., n).
визначений інтеграл mathcad обчислення
В
Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженою лініями x = a, x = b, y = 0, y = f (x), а значить (слідуючи з геометричного сенсу), і значення потрібного нам інтеграла, приблизно дорівнює сумі площ звичайних трапецій з підставами yi-1 і yi і висотою h = (ba)/n, так як (якщо звичніше висловлювати для нас) h це ? x, a
