r/>В
Таким чином
.
У цьому випадку функція називається интегрируемой на. Числа а і b називаються відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування, - подинтегральной функцією, - подинтегральних виразом, - змінної інтегрування; відрізок називається проміжком інтегрування. p> Теорема: якщо функція неперервна на відрізку, то вона інтегровна на цьому відрізку.
Геометричний сенс певного інтеграла
Нехай на відрізку задана безперервна неотрицательная функція. Криволінійної трапецією називається фігура, обмежена зверху графіком функції y = f (x), знизу - віссю Ох, ліворуч і праворуч - прямими x = a і x = b (рис. 2). br/>В
Рис. 2
Певний інтеграл від неотрицательной функції з геометричної точки зору чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції, ліворуч і праворуч - відрізками прямих і, знизу - відрізком осі Ох.
Основні властивості визначеного інтеграла
1. Значення певного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування
В
2. Певний інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю
В
3.Якщо, то, за визначенням, вважаємо
В
4. Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:
В
5. Певний інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів від цих функцій:
В
. Якщо функція інтегровна на і, то
В
7. (теорема про середньому). Якщо функція неперервна на відрізку, то на цьому відрізку існує точка, така, що
В
2. Чисельні методи обчислення визначених інтегралів
.1 Формула прямокутників
Розглянемо перший вид наближеного обчислення:
потрібно обчислити визначений інтеграл
В
Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція y = f (x). Розділимо відрізок [a, b], аналогічно як у формулі трапецій: точками a = x0, x1, x2, ..., xn = b на n рівних частин довжини? Х, де? Х = (ba)/n. br/>В
Позначимо через y0, y1, y2, ..., yn-1, yn значення функції f (x) в точках x0, x1, x2 ..., xn, тобто, якщо записати в наочній формулою:
Y0 = f (x0), y1 = f (x1), y2 = f (x2) ... yn, = f (xn).
У даному способі подинтегральную функцію замінюємо функцією, яка має ступінчастий вигляд (на рис. виділена).
Складемо суми y0 ? x + y1 ? x 1 + y2 ? x 2 ... + yn
