чисельного рішення диференціального рівняння (2), (3) полягає у вирішенні різницевої задачі Коші для різницевого рівняння (3) і початкових умов (5). p> Якщо шукане рішення входить в праву частину цього рівняння, що буває, коли, то формула (3) визначає неявний метод. Якщо, то шукане рішення в праву частину не входить і рівняння (3) може бути дозволено відносно. У цьому випадку формула (5) визначає явний метод. br/>
.3 Метод Адамса
Точність обчислень однокрокових методів можна збільшити, якщо використовувати при знаходженні рішення в деякому вузлі xi інформацію про значення функції, отриманих у декількох (k) попередніх вузлах сітки інтегрування (xi-1, xi-2 ... xi-k). p> Якщо використовуються значення в k попередніх вузлах, то говорять про k-шаговом методі інтегрування рівняння. Одним із способів побудови багатокрокових методів полягає в наступному. За значеннями функції, обчисленим в k попередніх вузлах, будується інтерполяційний поліном ступеня (k-1) -, який використовується при інтегруванні диференціального рівняння:
(6)
де ? l - квадратурні коефіцієнти.
При k = 1 в якості окремого випадку виходить формула Ейлера. Значення квадратурних коефіцієнтів для k від 2 до 4 наведені в таблиці:
Таблиця 1 - Значення квадратурних коефіцієнтів
В
Отримане таким чином сімейство формул називається явною k-крокової схемою Адамса (методи Адамса-Башфорта). p align="justify"> Наприклад, Четирехшаговое явна формула Адамса може бути записана так:
(7)
Якщо для побудови інтерполяційного полінома використовувати k вузлів, починаючи з xi +1, то можна отримати формули інтегрування ОДУ, відомі як неявні схеми Адамса (або методи Адамса-Моултона). Неявними ці формули називаються тому, що значення шуканої функції в (i +1)-м вузлі - yi +1 - виявляється одночасно і в лівій і правій частинах рівності. p align="justify"> Квадратурні коефіцієнти для неявних методів Адамса наведені в таблиці нижче.
багатокроковий метод диференційний рівняння
Таблиця 2 - Значення квадратурних коефіцієнтів для неявних методів Адамса
В
Наприклад, Четирехшаговое неявна формула Адамса-Моултона має вигляд:
(8)
Видно, що цей вираз є рівнянням щодо yi +1, так як yi +1 зустрічається і в лівій і правій його частині. Проте зазвичай це рівняння не вирішується, а значення в правій частині замінюється на розраховане за якої явної формулою - наприклад, формулою Адамса-Башфорта. Такий підхід лежить в основі методів "прогнозу-корекції". p align="justify"> Перевагою багатокрокових методів Адамса при вирішенні ОДУ полягає в тому, що в кожному вузлі розраховується тільки одне значення правій частині ОДУ - функції F (x, y). До не...
