жить безлічі перспективних перетворень. Безліч проектних перетворень - найпростіше можливе розширення безлічі перспективних перетворень до безлічі, на якому твір завжди визначено, а саме, безліч кінцевих творів перспективних перетворень. p> Варто відзначити, що аксіоми групи ніяк не регламентують залежність операції множення від порядку співмножників. Тому, взагалі кажучи, зміна порядку співмножників впливає на твір. Групи, для яких твір не залежить від порядку співмножників, називають комутативними або Абелеві групами. Абелеві групи досить рідко зустрічаються у фізичних додатках. Найчастіше групи, що мають фізичний зміст, є неабелева. p> Групи можна дуже узагальнено розділити на кінцеві і нескінченні. Кінцеві групи містять кінцеве кількість елементів. Якщо група має нескінченне число елементів, то вона називається нескінченною групою. p> Кінцеві групи невеликого розміру зручно описувати за допомогою т. зв. В«Таблиці множенняВ». p> У цій таблиці кожен рядок і кожен стовпець відповідає одному елементу групи, а в комірку на перетині рядка і стовпчика поміщається результат операції множення для відповідних елементів.
Також групи можна класифікувати за іншим критерієм: дискретність або неперервність.
Дискретна група складається з дискретного безлічі елементів. Коли елементи групи безперервно залежать від будь-яких параметрів, то група називається безперервною. Найбільш відомим прикладом безперервних груп є групи Лі. Більш точно, група Лі - це група, безліч елементів якої утворює гладке різноманіття. За допомогою груп Лі як груп симетрій знаходяться рішення диференціальних рівнянь. p> Наведемо ще кілька важливих для подальшого ухвал:
. Група називається циклічної, якщо вона породжена одним елементом g, тобто всі її елементи є ступенями g (або, якщо використовувати адитивну термінологію, представіми у вигляді n * g, де n - ціле число). p>. Число елементів n = | G | кінцевої групи G називається її порядком. p>. Якщо G і G '- групи, то відображення f: G? G ', для якого f (a * b) = f (a) * f (b) для всіх a, b з G, називається гомоморфізмом груп. Биективная гомоморфізм називається ізоморфізмом. За наявності ізоморфізму f: G? G 'групи G і G' називаються ізоморфними, позначення: G G '. Автоморфізмом називається ізоморфізм групи на саму себе. p>. Кажуть, що група G діє на множині M, якщо задано гомоморфізм з групи G в групу S (M) всіх перестановок безлічі M.
. Підгрупа? підмножина H групи G, само є що групою щодо операції, визначальною G.
. Підгрупа N групи G називається нормальною, якщо вона інваріантна щодо сполучень, тобто для будь-якого елемента і будь-якого, елемент. p>. Задача класифікації груп - опис груп з точністю до ізоморфізму. p> Як ми побачили, поняття групи дуже чітке, логічне і лаконічне. Воно дуже абстрактно і може бути застосовано в багатьох, часом навіть несподіваних місцях. Воно може бути корисно при проведенні формальних доказів. Але проте і тут є міс...
