вань сфери Шварцшильда при r g = будуть:
(4.2)
Квантові флуктуації вакууму діють найбільш сильно на поверхні горизонту подій, де енергія нульових коливань визначається за формулою:
(4.3)
Де m-кількість квантових осциляторів на сфері Шварцшильда. Енергія відповідає коливанням горизонту подій буде мати вигляд:
(4.4)
Отримуємо рівні енергії (4.4) для горизонту подій чорної діри. Отже, сфера Шварцшильда або горизонт подій не просто геометричний об'єкт, а квантова система, що володіє квантовими станами.
При n >> 1 енергія сфери Шварцшильда:
Горизонт подій при переході з одного енергетичного стану в інший випромінює або поглинає енергію у вигляді:
Е ik=E i - E k =; i, k >> 1 (4.5)
При переході (4.5) змінюється енергія чорної діри
Е=М з 2=
Відповідно змінюється розмір чорної діри, тобто площа горизонту подій:
=де (4.6)
Обчислимо ймовірність переходу сфери Шварцшильда, як фізичної системи з одного макросостоянія (i) в інше (k) при випромінюванні енергії (4.5). Для цього скористаємося формулою спонтанного квантового випромінювання для макросистеми (без зовнішніх впливів на горизонт подій):
(4.7)
- число квантових осциляторів на сфері Шварцшильда в стані k,
b =, - коефіцієнт квантового переходу.
Скористаємося золотим правилом Фермі для розрахунку квантового переходу:
(4.8)
де - обурення гамильтониана квантової системи Н, - кількість станів n квантової системи на одиницю енергії Е.
На сфері Шварцшильда діють квантові флуктуації фізичного вакууму, тому обурення гамильтониана квантового осцилятора на горизонті подій визначається принципом невизначеності Гейзенберга:
Тоді коефіцієнт запишеться в наступному вигляді:
(4.9)
Скористаємося формулами (4.7) і (4.9), визначимо ймовірність переходу сфери Шварцшильда з макросостоянія (i) в інше (k):
=(4.10)
Зміна ентропії системи (сфери Шварцшильда) при переході (i)? (K) визначимо за формулою Больцмана:
S=k=(4.11)
У нашому випадку кількість станів n зменшується при випромінюванні енергії на величину.
Тоді формули (4.6) і (4.11) для ентропії горизонту подій дають формулу Бекенштейна для чорної діри:
S=
Література
1. В. Фролов і І.Новіков, книга Фізика Черних Дір, Москва «Наука» 1986.
. Б. Пальців, посібник Сферичні Функції, УДК ??517.586
