аз всіх коефіцієнтів через вільні.
Якщо для кратного власного значення? матриці А, є стільки лінійно незалежних власних векторів? 1,? 2, ...,? m, яка його кратність, то йому відповідає m незалежних рішень вихідної системи:
Проемонстріруем метод Ейлера для заданої системи А
Загальне рішення системи виглядає наступним чином:
Стверджуючи, що це рішення, підставляємо у вихідну систему, попередньо обчисливши похідні від вектора рішень у, і, скоротивши на е6х, отримаємо:
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях, отримаємо:
Тепер висловимо 6 коефіцієнтів через два вільних, тобто дозволимо отриману систему відносно коефіцієнтів С1 і С2. Далі запишемо вектор у із знайденими коефіцієнтами:
Це буде рішенням для першого кореня кратності 2 і проробимо теж для другого кореня кратності 2. Отримаємо:
Тепер побудуємо фундаментальну матрицю:
Довизначивши коефіцієнти С1, С2, С3 і С4 рівними 1, отримаємо фундаментальну матрицю рішень:
Таким чином, Домножимо транспоновану фундаментальну матрицю на стовпець вільних коефіцієнтів, отримуємо загальне рішення однорідної системи диференціальних рівнянь:
Зробимо перевірку знайденого рішення за допомогою формули:
(*)
Отримали нульовий вектор, значить, фундаментальна матриця знайдена правильно.
5. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду
Дамо визначення матричному ряду і експоненційної функції матриці.
Матричні ряди. Розглянемо нескінченну послідовність матриць,,. Будемо говорити, що послідовність матриць сходиться до матриці А:
,
якщо при. З визначення норми випливає, що збіжність матриць еквівалентна поелементної збіжності. Матричним рядом називається символ, причому кажуть, що цей ряд сходиться до суми, якщо до f сходиться послідовність часткових сум Sk, де
Нехай, тоді можна визначити ступінь матриці А звичайним чином:
(k разів).
Розглянемо ряд, званий статечним:
,,,
де за визначенням покладемо A0=En.Експоненціальная функція матриці. Як приклад розглянемо статечної ряд, рівний:
.
Так як радіус збіжності відповідного числового ряду
Равен нескінченності, то ряд сходиться при всіх А. Сума ряду називається експоненціальною функцією (експонентою) і позначається через ЕА, якщо ехр {А}.
Наближено вектор рішень можна знайти як добуток матричного ряду:
і вектора початкових умов y0=[y1, y2, ..... yk]. Формула є матричної завданням Коші в наближеному вигляді.
експонентів матріциА називається сума ряду
де Е - одинична матриця.
Матриця є рішенням матричної задачі Коші:
тобто є фундаментальною матрицею системи.
Знайдемо розкладання матричного ряду по семи перших членам:
Вектор наближених рішень для семи членів ряду:
Перший стовп...
