ець:
Другий стовпець:
Третій стовпець:
Четвертий стовпець:
Результатом буде матриця 4 * 4:
Для перевірки правильності розкладання підставимо нульові умови. В результаті отримаємо одиничну матрицю:
6. Побудова загального рішення матричним методом
Матричний метод розв'язання системи рівнянь (1) заснований на безпосередньому відшуканні фундаментальної матриці цієї системи.
експонентів eA матриці А називається сума ряду
де Е - одинична матриця.
Властивість матричної експоненти:
а) якщо АВ=ВА, то ЕА + В=ЕА * еВ=еВ * еа;
б) якщо SB=AS, то естьА=S - 1 * B * S, то ЕА=S - 1 * eB * S, де матриця S - це матриця перетворення змінних із власного базису в базис вихідних змінних.
Дослідження залежності жорданової форми матриці А від властивостей матриці системи
Нехай J - жорданова клітина матриці А. Для випадку дійсних різних коренів жорданова клітина буде виглядати наступним чином:
Нехай серед дійсних власних чисел матриці А є кратні. Жорданова клітина буде знаходитися за наступною формулою:
Наприклад, якщо кратність k=2, то жорданову клітку матриці ми можемо записати:
Якщо кратність k=3, то жорданову клітку матриці ми можемо записати так:
Якщо ж серед трьох власних чисел є коріннями кратності 2, то жорданова форма буде виглядати наступним чином:
Якщо два власних числа матриці А є комплексними сполученими, то запис жорданової клітини буде виглядати, де - дійсна, - уявна частина власного числа, так:
У нашому випадку, ми отримали 2 кореня кратності 2, значить матриця В прийме вигляд:
А матрицю Sв загальному вигляді представимо як:
З рівняння A * SS * В=0 отримаємо:
Для того, щоб отримана матриця дорівнювала 0, прирівняли всі коефіцієнти до 0. Потім Довизначивши деякі з них,,,. Отримали матрицю Sв наступному вигляді:
Зробимо перевірку SB-AS=0:
Отримали нульову матрицю, значить, матриця S перетворення змінних із власного базису в базис вихідних змінних, знайдена вірно.
Для знаходження вектора рішень y необхідно помножити матрицю S на, де - це вектор, елементи якого залежать від коренів характеристичного многочлена. . Уявімо B як, тоді отримаємо:
, де?- Матриця без діагональних елементів, яка для нашого випадку запишеться як:
Як і в пошуку наближеного рішення у вигляді матричного ряду знайдемо і як суму матричного ряду з числом членів ряду, що дорівнює чотирьом. Для запишемо:
І отримаємо:
Очевидно, що запишеться у вигляді:
Тоді запишеться в наступному вигляді:
І, остаточно, отримаємо:
Звідси зн...
