C)? (B + C) (розподільчий);
§ (A + B) + С=A + (B + C), (A? B)? C=A? (B? C) (сочетательное);
§ А + А=А, А? А=А;
§ А +? =? , А? ? =А;
§ А +? =? , А? ? =? ;
§ =? , =? ,=A;
§ A - B=A? ;
§ =? і=+ - закони де Моргана
В їх справедливості можна переконатися за допомогою діаграм Ейлера-Венна.
Приклад 1.2. Довести формулу
A + B=A +? В
Використовуючи деякі з вище наведених правил, отримуємо:
А + В=(А + B)? ? =A? ? + B? ? =A?? + B? (A +?)=A?? + (A +?)? B=A?? + A? B +?? B=(? + B)? A +?? B=A +?? B.
Таким чином, суму будь-яких двох подій можна представити у вигляді суми двох несумісних подій.
Геометричне доказ представлено на рис. 6.
Випадкові події. Алгебра подій. (Теоретико-множинна трактування)
Визначимо тепер основні поняття теорії ймовірностей, слідуючи теоретико-множинного підходу, розробленому академіком Колмогоровим А. Н. в 1933 році.
Нехай робиться деякий досвід з випадковим результатом.
Безліч?- {? } Всіх можливих взаємовиключних результатів даного досвіду називається простором елементарних подій (коротко: ПЕС), а самі результати?- Елементарними подіями (або «елементами», «точками»). Випадковим подією А (або просто подією А) називається будь-яка підмножина безлічі? , Якщо? звичайно або лічильно (тобто елементи цієї множини можна пронумерувати за допомогою безлічі натуральних чисел): А? .
Елементарні події, що входять до підмножина А простору? , Називаються сприятливими події А.
Безліч? називається достовірною подією. Йому сприяє будь елементарна подія; в результаті досвіду воно обов'язково відбудеться.
Пусте безліч? називається неможливою подією; в результаті досвіду воно відбутися не може.
Приклад 1.3. Досвід: один раз кидають гральну кістку. У цьому випадку ПЕС таке:? ={1,2,3, 4,5,6} або? ={? 1,? 2,? 3? 4,? 5,? 6}, де? i - елементарне подія, яке у випаданні грані з i очками (i =). У даному випадку? звичайно. Прикладом події А є, наприклад, випадання непарного числа очок; очевидно, що А={? 1,? 3,? 5}; події А сприяють елементарні події? 1,? 3,? 5. Однак якщо нас цікавить тільки факт випадіння парного числа очок, то ПЕС можна побудувати інакше:? ={? 1,? 2}, де? 1 - випадання парного числа очок,? 2 непарного.
Приклад 1.4. Досвід: стрільба по цілі до першого влучення. Тоді
де П означає попадання в ціль, Н - непотрапляння. Фіналів у цього досвіду нескінченно (теоретично); ? лічильно.
Приклад 1.5. Досвід: спостереження за часом безвідмовної роботи деякого агрегату. У цьому випадку в якості результату може з'явитися будь-яке число t? 0; час t змінюється безперервно; ПЕС таке: Q={t, 0? t? ?}. Фіналів у цього досвіду нескінченно,? незліченно (континуально).
Над подіями можна проводити всі операції, здійснимі для множин.
