утника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.
Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого.
Синус, косинус і тангенс кута? позначаються символами sin?, cos?, tg? (Читаються: «синус альфа», «косинус альфа» і «тангенс альфа». На малюнку 1
sin А =, (1)
cos А=(2)
tg А =. (3)
З формул (1) і (2) отримуємо:
=*=
Порівнюючи з формулою (3), знаходимо:
tg А=(4),
тобто тангенс кута дорівнює відношенню синуса до косинусу цього кута.
Доведемо, що якщо гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнює гострого кутку іншого прямокутного трикутника, то синуси цих кутів рівні, косинуси цих кутів рівні і тангенси цих кутів рівні. Справді, нехай АВС і А 1 В 1 С - два прямокутні трикутника з прямим кутами С і С 1 і рівними гострими кутами А і А 1. Трикутники АВС і А 1 В 1 С 1 подібні за першою ознакою подібності трикутників, тому ==. З цих рівностей випливає, що =, тобто sin А=sin А 1. Аналогічно =, тобто cos А=cos А 1, і =, тобто tg А=tg А 1.
А
В
З
Рис. 2
Розглянемо прямокутний трикутник АВС з прямим кутом С (рис. 2). Доведемо, що в прямокутному трикутнику АВС sin А=cos В і cos А=sin В.
sin А=cos В, так як? А +? В=90?, то? А=90?-? В,
sin А=sin (90? -? В)=cos В, sin (90? -? В)=cos В.
cos А=sin В, так як? А +? В=90?, то? А=90?-? В,
cos А=cos (90? -? В)=sin В, cos (90? -? В)=sin В.
1.3 Основне тригонометрична тотожність в курсі геометрії 8 класу
Доведемо тепер справедливість рівності
+=1
Візьмемо будь прямокутний трикутник АВС з кутом при вершині А, рівним? (Рис. 3).
В
А
З
Рис. 3
По теоремі Піфагора + =. Розділимо обидві частини рівності на. Отримаємо:
+=1, sin А =, cos А =.
Таким чином,? +? =1 (1).
Це рівність є тотожність. Воно вірно для будь-якого гострого кута?.
? +? =1
називається основним тригонометричним тотожністю.
З основного тригонометричного тотожності можна отримати два тотожності:
1 +? =(2) і 1 +? =(3).
Щоб отримати другу тотожність, розділимо обидві частини отриманого рівності на?. Отримаємо:
+ 1 =, або 1 +? =(4)
Якщо обидві частини тотожності? +? =1 розділити на?, То отримаємо третю тотожність:
1 +? =(5).
