MD=a, PD=a, CD=x, тоді PC=ax
Периметр прямокутника ABCD:
1=((a-x + a) + x) · 2=4a
Периметр квадрата MNPD:
2=(a + (a-x + x)) · 2=4a
б) площа прямокутника ABCD
пр=S1 + S0=x (a-x) + ax
Площа квадрата MNPD
кв=S2 + S0=a (a-x) + ax
в) порівняємо Sпр і Sкв, враховуючи, що згідно з умовою х <а (див. вище)
(ax) + ax і a (ax) + ax (ax) і a (ax) < aпр < Sкв
Відповідь: з усіх прямокутників з заданим периметром найбільшу площу має квадрат
Далі ми розглянули аналогічні завдання для трикутників, п'ятикутників, шестикутників. Виявилося, що з усіх багатокутників з рівним периметром і рівним числом сторін найбільшу площу має правильний багатокутник.
.2. Покриття площині правильними багатокутниками одного типу
Нехай площину вимощена однаковими правильними багатокутниками (тобто, наприклад, тільки 3-косинцями, або тільки 4-косинцями, ...., тільки n-косинцями). З'ясуємо питання, для яких значень n можливо замощення.
Завдання № 2
Визначити тип правильних багатокутників, якими можна покрити площину «без просвітів»
Рішення:
Сума кутів опуклого багатокутника визначається за формулою: 180 (п - 2).
Величину кута правильного n-кутника можна визначити за формулою:
, враховуючи, що n <1800
Використовуючи цю формулу, для різних значень n отримуємо такі величини кутів правильних n-кутників:
n3456789101112 n60090010801200 135014001440 1500
Для того щоб визначити, при якому значенні n навколо даної точки укладається ціле число кутів, треба визначити, для яких значень n 3600 ділиться без остачі на це число. Очевидно, що це можливо тільки при n=600, 900, 1200 (3600=6 · 600=4 · 900=3 · 1200).
Відповідь: околиця точки можна замостити правильними багатокутниками одного типу тільки при n=3,4,6 без пробілів і накладень.
Аналізуючи ситуацію далі, ми вирішили, що для заповнення вулика сотами без пустот, бджоли повинні були «вибрати» одну з цих форм. Далі ми почали шукати відповідь на питання «Чому вони вибрали площину правильного шестикутника?».
Так як стільники можуть мати форму правильної трикутної, чотирикутної або шестикутної призми, то кількість меду в сотах буде залежати від обсягу призми, а кількість воску, необхідного на ці стільники - від площі бічної поверхні призми.
Обсяг меду, що міститься в одній клітинці сот, залежатиме від площі основи комірки і її висоти. Тому якщо осередки різної форми, але мають рівні площі підстав і рівні висоти, то меду в них буде вміщатися однакова кількість. Оскільки, стільники займають весь вулик, то незалежно від того, яку вони мають форму, об'єм, тобто кількість меду у вулику, буде однаковим. Значить, вибір форми пов'язаний з кількістю воску, що витрачається на стільники.
Як вже було сказано, кількість воску необхідного для сот залежить від площі бічної поверхні призми, яка в свою чергу залежить від периметра п...
