> 1 в кінець вектора
а n . Дане правило називається правилом замикання ламаної до багатокутника.
Різницею а - b вектора а і вектора b називається такий вектор з , який в сумі з вектором b дає вектор а .
Твором? а (або а ?) вектора а на дійсне число? називається вектор в, колінеарний вектору а , що має довжину, рівну??? ?? a ? ... І має напрямок, що збігається з напрямком вектора а в випадку? > 0 і протилежний напрямку вектора а в випадку? <0.
У разі, коли? =0 або а =0, твір? а представляє собою нульовий вектор, напрям якого не визначено. Геометричний зміст операції множення вектора на число можна виразити так: при множенні вектора а на число? вектор а «розтягується» в? «Раз».
Операція множення вектора на число має такі властивості:
)? ( а + b ) =? а +? b - розподільна властивість числового сомножителя щодо суми векторів
) (? + ?) а =? а + ? а - розподільна властивість векторного сомножителя щодо суми чисел
)? (? а )=(? ?) а - сочетательное властивість числових співмножників.
Властивості 1-7 мають фундаментальне значення, оскільки дозволяють виробляти викладки у векторній алгебрі за тими правилами, за якими проводяться аналогічні викладки в звичайній алгебрі.
Лінійною комбінацією векторів будемо називати суму творів цих векторів на довільні дійсні числа. Вектори називаються лінійно залежними, якщо знайдуться такі дійсні числа, з яких хоча б одне відмінно від нуля, що лінійна комбінація векторів з вказаними числами звертається в нуль. Вектори, які не є лінійно залежними, називають лінійно незалежними. Вектори лінійно незалежні, якщо рівність нулю їх лінійної комбінації можливо лише у випадку, коли всі числа рівні нулю.
Якщо хоча б один з векторів є нульовим, то ці вектори лінійно залежні. Якщо серед n векторів будь n - 1 векторів лінійно залежні, то і всі n векторів лінійно залежні.
Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності двох векторів є їх коллінеарність. Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності трьох векторів є їх компланарність. Будь-які чотири вектори в просторі лінійно залежні.
Кажуть, що три лінійно незалежних вектора утворюють в просторі базис, якщо будь-який вектор може бути представлений у вигляді деякої лінійної комбінації векторів. Аналогічно визначається базис на площині: два лінійно незалежних вектора а і b утворюють на цій площині базис, якщо будь-який лежить в площині вектор з може бути представлений у вигляді деякої лінійної комбінації векторів а ...
