означимо через, а через тоді остання рівність перепишеться у вигляді:
Аналогічно продифференцируем (23) по:
Помножимо друге рівність на:
Складемо вийшло рівність з першим:
Остання рівність з урахуванням позначень, перепишемо у вигляді:
Отже, отримали два рівняння від двох невідомих функцій і:
Позначимо через:
Тоді з (27) і (28):
Або:
Міняючи порядок інтегрування, будемо мати:
Позначимо через, тоді для всіх
Позначимо через, тоді:
Складаючи, отримуємо:
Позначимо через. Очевидно, що для будь-якого
Позначимо через значення t, при якому. Тоді для будь-яких t з проміжку, тобто, отже, що для будь-якого виконуються тотожності:
Підставами функції
:
З урахуванням рівностей (29) і (24), отримаємо тотожність:
Аналогічно для другого рівняння системи:
Враховуючи (30) і (25), отримаємо тотожність:
Перевіримо, що функції задовольняють початковим умовам (2) і (9). Для цього підставимо в (26).
В результаті приходимо до равенствам:
які підтверджують, що рішення системи (26) задовольняє початковим умовам (2), (9).
Отже, ми довели, що рішення задачі (8), (2), (9) дає рішення системи (26), і навпаки, безперервно диференціюється рішення системи (26) при) буде рішенням завдання ( 8), (2), (9). Тобто еквівалентність двох систем відображено.
Доказ існування розв'язку задачі Коші
Залишилося довести існування обмеженого безперервно дифференцируемого рішення системи рівнянь (26), тим самим буде доведено існування класичного рішення задачі Коші (1), (2).
Введемо деякі позначення та визначення.
Будемо позначати) і - простору функцій визначених і безперервних (відповідно зі своїми похідними до порядку по му аргументу,) на деякій підмножині евклидова простору,.
Введемо наступні позначення:
де - довільно зафіксоване позитивне число,
Також будемо користуватися раніше введеним позначенням:
Для довільної функції і ми покладемо:
Лемма 1. Нехай, причому і підібрані таким чином, що виконуються нерівності
Нехай, далі - позитивний корінь рівняння
де - будь-яке число з інтервалу (0,)
і для будь-якого
де
Тоді при система рівнянь (26) має єдине рішення.
Доказ.
Будемо доводити існування рішення сис...
