ння диференціального рівняння (другий порядок точності).
Метод Ейлера володіє повільної сходимостью, тому частіше застосовують методи більш високого порядку точності. Другий порядок точності за має вдосконалений метод Ейлера:. Цей метод має просту геометричну інтерпретацію. Метод Ейлера називають методом ламаних, так як інтегральна крива на відрізку замінюється ламаної з кутовим коефіцієнтом. У вдосконаленому методі Ейлера інтегральна крива на відрізку замінюється ламаної з кутовим коефіцієнтом, обчисленим в середній точці відрізка. Так як значення в цій точці невідомо, для його знаходження використовують метод Ейлера з кроком. Модифікований метод Ейлера з перерахунком має другий порядок точності, однак для його реалізації необхідно двічі обчислювати праву частину функції. Зауважимо, що метод Ейлера з перерахунком являє собою різновид методів Рунге-Кутта (предиктор-коректор).
Методи Ейлера-Коші належать до так званих однокроковим методам, оскільки для обчислення значення функції y (x) в точці x +1 вимагається знати тільки значення функції y (x) в одній попередньої точки xi.
Геометрично це означає, що визначається напрямок дотичної до інтегральної кривої в вихідної точки хi, yi і в допоміжній точці хi +1, yi +1 (а, в) якості остаточного напрямки береться середнє цих напрямів.
Ще одна модифікація методу Ейлера другого порядку - метод Ейлера-Коші:
2. Постановка і вирішення завдання
.1 Формулювання завдання
Рішення диференціального рівняння методами Ейлера і Ейлера-Коші на відрізку [0; 4] (на прикладі рівняння) з точністю. Початкова точка М0 (0, 2)
.2 Рішення завдання методом Ейлера
Вирішити диференціальне рівняння на відрізку [0; 4] з точністю=0.01
Знайдемо першу точку (M1) з кроком h=1.=1
=x0 +1=1
=(1; 1)
Знайдемо другу точку (M2).
=x1 +1=2
=
=(2; 1)
Знайдемо третю точку (M3).
=1=x2 +1=3
=(3 ;)
Знайдемо четверту точку (M4).
=1=x3 +1=4
=(4 ;)
2.3 Рішення завдання методом Ейлера - Коші
Вирішити диференціальне рівняння на відрізку [0; 4] з точністю=0.01
Знайдемо першу точку (M1).
=1=x0 +1=1
=(1 ;)
Знайдемо другу точку (M2).
=1=x1 +1=2
=(1 ;)
Знайдемо третю точку (M3).
=1=x2 +1=3
=(1 ;)
Знайдемо четверту точку (M4).
=1=x3 +1=4
=(1 ;)
. Програмна реалізація
.1 Блок-схеми
Метод Ейлера
Метод Ейлера-Коші
3.2 Тексти програм
Метод ЕйлераАбсцісса точки шуканої функції-Ордината точки шуканої функції-Кінцева точка інтегрування-Крок-Початкова точка інтегрування-Похідна-Кількість вичісленійeiler; crt; x, y, a, b, h: real; i: integer; f (x, y: real): real; {Opisanie funkcii} f:=(x * xy) / (2 * x + y +1); end...
