них рівнянь, задач варіаційного обчислення і ряду інших математичних проблем.
Мета заданої роботи - освоїти методи вирішення диференціального рівняння методами Ейлера і Ейлера-Коші.
Курсовий проект ділиться на три частини. Теоретична частина описана в першій частині. Практична (ручний розрахунок поставленої задачі методів Ейлера і Ейлера-Коші) частина реалізована у другій частині. У третій представлені алгоритми вирішення обох методів, програмна реалізація методів, а також тестових завдань на задану задачу.
.
1. Теоретична частина
Якщо задачу про відшукання всіх рішень диференціального рівняння вдається звести до кінцевого числа алгебраїчних операцій, операцій інтегрування і диференціювання відомих функцій, то говорять, що рівняння інтегрується в квадратурі. У додатках вкрай рідко зустрічаються рівняння, що інтегруються в квадратурах. Тому для дослідження диференціальних рівнянь широко використовуються наближені, чисельні методи їх вирішення.
Чисельне рішення на відрізку [a, b] задачі Коші y '= f (x, y), y (a)=y0 полягає в побудові таблиці наближених значень y0, y1, ..., yi , ... yN рішення y (x) у вузлах сітки a=x0 Якщо xi=a + ih, h=(ba) / N, то сітка називається рівномірною. Чисельний метод рішення задачі Коші називається однокроковим, якщо для обчислення рішення в точці x0 + h використовується інформація про рішення тільки в точці x0.
Найпростіший однокроковий метод чисельного рішення задачі Коші - метод Ейлера. У методі Ейлера величини yi обчислюються за формулою yi +1=yi + hf (xi, yi), i=0, 1, ...
Теорема існування та єдиності задачі Коші. Нехай функція визначена і неперервна на множині точок. Припустимо також, що вона задовольняє умові Ліпшиця: для всіх і довільних,, де L-деяка константа (постійна Ліпшиця). Тоді для кожного початкового значення існує єдине рішення y (x) задачі Коші, визначене на відрізку.
Геометрично задача інтегрування диференціальних рівнянь полягає в знаходженні інтегральних кривих, які в кожній своїй точці мають заданий напрямок дотичній. Завданням початкової умови ми виділяємо з сімейства рішень ту єдину криву, яка проходить через фіксовану точку (Мал. 1)
Малюнок 1. Метод ламаних
.1 Метод Ейлера
Чисельне рішення задачі Коші полягає в побудові таблиці наближених значень в точках. Точки називаються вузлами сітки, а величина - кроком сітки. В основі побудови дискретної задачі Коші лежить той чи інший спосіб заміни диференціального рівняння його дискретним аналогом. Найпростіший метод заснований на заміні лівій частині рівняння правої різницевої похідної:. Вирішуючи рівняння щодо, отримуємо розрахункову формулу методу Ейлера:,.
Геометрично ці формула означає, що на відрізку інтегральна крива замінюється відрізком дотичної до кривої (рис. 2).
Малюнок 2. Метод Ейлера
Чисельний метод називається явним, якщо обчислення рішення в наступній точці здійснюється за явною формулою. Метод називається однокроковим, якщо обчислення рішення в наступній точці проводиться з використанням тільки одного попереднього значення. Метод Ейлера є явним однокроковим методом.
.2 Метод Ейлера-Коші
Метод Ейлера - Коші - найбільш точний метод ріше...
