днує точки (x0, t0) і (x, t), що належить області D, і однозначно відображається на ость t.
Наприклад, якщо області належать двухмерному простору і мають вигляд, показаний на рис.2, то підобласть, підпорядкована точці (x0, t0) відображена штрихуванням. Ламана лінія, що з'єднує довільну точку (x, t)? D з точкою (x0, t0), також зображена на малюнку. Використовуючи це поняття, сформулюємо строгий принцип максимуму, який дає уявлення про структуру рішення рівнянні (6), якщо максимум в області досягається Dg (D).
Теорема 4. (Строгий принцип максимуму).
Нехай D обмежена область в Rn +1 і g (D) її верхня кришка, G (D) її власна межа. Нехай у Dg (D) визначений оператор, причому функції оператора L задовольняють умовам (1) - (5) і u субпараболіческая (суперпараболіческая) функція.
Тоді, якщо функція u досягає позитивного максимуму (негативного мінімуму) в деякій точці (x0, t0)? Dg (D), то u=const в підобласті, підпорядкованої точці (x0, t0).
Доказ цього твердження легко отримати з двох лем, наведених нижче, та залишено для самостійної роботи.
Лемма 2.
Нехай у визначений оператор причому функції оператора L задовольняють умовам (1) - (5) u субпараболіческая в функція. Нехай в точці (x0, t2) функція u досягає свого максимального значення. Тоді це значення зберігається уздовж осі циліндра.
Доказ. Доказ проводиться методом від протилежного. Позначимо u (x0, t2)=M. Припустимо, що в деякій точки осі циліндра (x0, t) значення менше M, тобто u (x0, t) < M - a, де a> 0. Побудуємо циліндр, причому r вибираємо таким чином, щоб
< min (R, 1)
і u (t, x) < M - a, при всіх x, що задовольняють нерівності
| x - x0 | < r.
Введемо допоміжну функцію. Досить легко показати, що існує таке досить велика b, при якому функція v є суперпараболіческой, тобто задовольняє нерівності. Обчислюючи похідні за t і по просторових похідним і підставляючи в ліву частину нерівності, отримуємо таке нерівність
де k-const. Враховуючи властивість першої суми, отримуємо наступну квадратичну форму
при досить великому значенні b.
Оцінимо значення функції v на бічній поверхні і нижній підставі циліндра. При t=t v? M - a> u (нижня підстава) і v=M? u при r=| x - x0 | (бокова поверхня). Отже,. Розглянемо значення функції u в точці (x0, t2). . Отримане протиріччя доводить твердження леми.
Лемма 3.
Нехай у похилому циліндрі t1? t? t2, | x - (x0 + b (t - t2) | визначений оператор причому функції оператора L задовольняють умовам (1) - (5) u субпараболіческая в цьому циліндрі функція. Нехай у точці (x0 + b (t2 - t1), t2) функція u досягає свого максимального значення. Тоді це значення зберігається уздовж осі циліндра.
Доказ легко проводиться за допомогою заміни змінних x=x0 + b (t - t1), t=t і залишається для самостійної роботи.
Доказ теореми 4 грунтується на послідовному застосуванні лем 2 і 3 і тим, що будь-яка точка підобласті, підпорядкована точці (x0, t0) з'єднується з нею ламаною лінією, однозначно яка відображається на вісь t.
§ 3. Принцип максимуму для початкової задачі рівнянь параболічного типу
Початкова задача для рівнянь параболічного типу ставиться таким чином. У напівпросторі t> t0 визначено рівняння
Оператор, де? D? Rn +1. Передбачається, що функції - задовольняють в...
