для неї так само при кожному k. Отриманий результат можна сформулювати так: послідовність (1) містить принаймні одну підпослідовність, яка у всіх точках множини D сходиться до деякої функції, визначеної на множині D. При цьому, так як функції не убувають і рівномірно обмежені, то, очевидно, і функція буде неубутною і обмеженою.
Тепер ясно, що функцію, визначену на множині D, можна продовжити так, що вона буде визначена на всій прямій, залишаючись неубутною і обмеженою.
Послідовність (5) сходиться до цієї функції на усюди щільному множині D; отже, вона сходиться до неї в основному, що й потрібно було довести. Зауважимо, що функція, отримана продовженням функції G, може виявитися не безперервної зліва. Але ми можемо змінити її значення в точках розриву так, щоб відновити цю властивість. Підпослідовність буде сходитися і до таких чином «поправленої» функції.
Друга теорема Хеллі. Нехай - неперервна функція і нехай послідовність неубутних, обмежених у сукупності функцій
сходиться в основному до функції на деякому кінцевому інтервалі де a і b-точки безперервності функції; тоді
Доказ. З безперервності функції випливає, що як би мало не було позитивне постійне, знайдеться підрозділ інтервалу точками на часткові інтервали таке, що в кожному інтервалі буде виконуватися нерівність. Користуючись цією обставиною, ми можемо ввести допоміжну функцію, приймаючу тільки кінцеве число значень, визначивши її допомогою рівностей
при
Очевидно, що для всіх x в інтервалі виконується нерівність
.
При цьому ми можемо заздалегідь вибрати точки поділу так, щоб вони були точками безперервності функції F (x). В силу збіжності функцій
до функції F (x), при досить великих n у всіх точках розподілу виконуватимуться нерівності
(6)
де M-максимум модуля в інтервалі.
Без пояснень ясно, що
Неважко підрахувати, що перший доданок правої частини не перевищує а третє не перевищує. Що стосується другого доданка, то воно дорівнює
і, отже, при досить великих n не перевищує, як це випливає з рівності (6). У силу обмеженості функцій в сукупності, сума
може бути зроблена як завгодно малою разом с.
Узагальнена другий теорема Хеллі. Якщо функція неперервна і обмежена на всій прямій, послідовність обмежених у сукупності неубутних функцій
Сходиться в основному до функції і
Доказ. Нехай і; покладемо
Очевидно, що
Величини і можна зробити як завгодно малими, якщо вибрати A і B досить великими за абсолютною величиною і потім такими, щоб точки A і B були точками безперервності функції, а n вибрати досить великим. Справді, нехай M - верхня грань при; тоді
Але
А так як, за визначенням,
то наше тв...
