Лагранжа і формулюються по відношенню до функції Лагранжа:
(3)
(де - множники Лагранжа), а саме: якщо x * - локальне рішення задачі, то існує вектор такий, що
, (4)
де - вектор похідних від функції Лагранжа по компонентах вектора х [6].
Будь точка x *, що задовольняє при деякому?? * Умові (4), а також умовам допустимості (2), називається стаціонарної точкою задачі (1). Як і у випадку безумовної задачі оптимізації, стаціонарні точки не зобов'язані бути рішеннями завдання. Тут також існують достатні умови оптимальності із залученням других похідних [6].
2.2 Достатні умови оптимальності
Якщо функції f, j 1, j 2, ..., jm двічі діфференцируєми в допустимої точці x *? R n (задовольняє системі (2)) і при деякому * виконуються умови:
,
а також умови
(5)
при всіх ненульових h? R n, що задовольняють умовам
(6)
то x * - строгий локальний мінімум (максимум) задачі (1).
В умовах (5) - матриця других похідних функції Лагранжа за координатами вектора х [6].
Послідовність рішення методом Лагранжа:
) формуємо функцію Лагранжа (3);
) знаходимо вектор перших похідних функції Лагранжа;
) формуємо систему рівнянь для відшукання координат стаціонарних точок;
) вирішуємо отриману систему (результати зручно привести в таблиці);
) знаходимо матрицю других похідних функції Лагранжа і вектор h;
) знаходимо твір матриці на вектор h. Це вектор, r-й компонент якого дорівнює скалярному добутку r-го рядка матриці на вектор-співмножник;
) знаходимо скалярний добуток векторів і h для з'ясування сенсу умови (5).
Таким чином, знаходимо локальний мінімум, і локальний максимум [5].
3. Практична частина
.1 Безумовна оптимізація
Приклад 1. Функція Коші f (x)=(f (0)=0) має при x=0 похідні всіх порядків, причому всі вони рівні нулю. Хоча при x=0 ця функція має мінімум, встановити цей факт за допомогою правила
максимум при f «(a)=0 і f» '(a) <0,
мінімум при f «(a)=0 і f» '(a)> 0. (1)
неможливо. За допомогою ж правила:
Якщо похідна f '(x) при переході через стаціонарну точку а змінює
знак + на -, то в наявності максимум,
знак - на +, то в наявності мінімум. (2)
Якщо f '(x) знака не змінює, то екстремуму немає.
це вдається зробити:
f '(x) =,
зліва від нуля f «(x) <0, а праворуч від нуля f» (x)> 0.
За правилом (2) в точці x=0 функція f (x) звертається до мінімум.
Приклад 2. Знайти екстремуми функції f ...
