поверхня S - частина площини, що лежить в першу Октант.
Рішення. Зробимо малюнок.
Виконаємо обчислення
,,
Відповідь:.
Розглянемо елемент поверхні і його проекції на координатні площини
Запишемо вектор елемента поверхні у вигляді
.
Визначення 2. Поверхневим інтегралом другого роду називається межа інтегральної суми
Поверхневий інтеграл другого роду називають також поверхневим інтегралом по координатах. Враховуючи формулу для вектора площі можна записати його у вигляді
.
Обчислювати цей інтеграл можна, розглядаючи проекції поверхні на координатні площини і обчислюючи потім відповідні подвійні інтеграли.
Приклад 2. Обчислити потік вектора через верхню частину поверхні, обмеженої площинами.
Рішення. Поверхня являє собою параболоїд, що накриває квадратний циліндр з твірними, паралельними осі z. Зробимо малюнок проекції цієї поверхні на площину xy.
Обчислення:
Відповідь:.
3. Потік векторного поля
Розглянемо постійне векторне поле і деяку плоску площадку S .
Вектор нормалі до майданчика позначимо п . Введемо вектор, тобто будемо розглядати площа як вектор.
Визначення 1. Потоком постійного вектора F через майданчик S називається величина
.
Неважко показати, що якщо як вектора F вибрати швидкість руху рідини, то потік визначає кількість рідини, що протікає через майданчик S за одиницю часу.
Узагальнимо поняття потоку. Нехай задано довільне векторне поле і деяка поверхню S . Розіб'ємо поверхню на малі елементи і складемо суму
.
Ця величина є інтегральною сумою для функції по поверхні S . Межа цієї інтегральної суми називають поверхневим інтегралом другого роду.
.
Визначення 2. Потоком вектора F через поверхню S називається величина
.
Якщо функція F задає поле швидкостей, то потік визначає кількість рідини, що протікає через задану поверхню в одиницю часу.
Часто потрібно визначити потік вектора через замкнену поверхню. Інтеграли по замкнутій поверхні зазвичай записують у вигляді
.
Розглянемо векторне поле, задане в тривимірному просторі. Близько деякої точки М опишемо замкнуту поверхню S , що обмежує обсяг V .
Теорема 1. Якщо векторна функція неперервна разом зі своїми приватними похідними в околиці точки М, ...
