то існує межа
.
Спрощене доведення цієї теореми наведено нижче.
Відзначимо, що ця межа не залежить від способу стягування області V в точку М, а залежить тільки від положення точки.
Визначення 3. дивергенція векторного поля називається величина
.
Дивергенція означає расходимость. Це визначення дивергенції відрізняється від того, яке ми давали в першому розділі, і є більш загальним. Тут, зокрема, нічого не говориться про вибір системи координат, тобто це визначення справедливо в будь-якій системі координат.
Теорема 2. Якщо векторна функція неперервна разом зі своїми приватними похідними в околиці точки М, то в декартовій прямокутній системі координат дивергенція цієї функції визначається формулою
.
Доказ. Як елемент обсягу виберемо прямокутний паралелепіпед зі сторонами довжиною, спрямованими паралельно координатним осях.
Розглянемо потік вектора F через грані, перпендикулярні осі z . Вектор для верхнього майданчика має вигляд, для нижньої -. Сумарний потік через верхню і нижню площадки визначається виразом
.
Аналогічно отримаємо
,
.
Підставами ці значення в формулу для дивергенції
.
Теорема доведена. З цієї теореми випливає, що обидва визначення дивергенції еквівалентні. Наведене доказ можна розглядати як спрощене доказ теореми 1.
. Циркуляція і ротор векторного поля
Розглянемо векторне поле, задане в тривимірному просторі і виділимо в цьому просторі деяку замкнуту криву.
Визначення 1. Циркуляцією векторного поля називається криволінійний інтеграл другого роду по замкнутій кривій
.
Приклад 1. Нехай стаціонарне обертальний рух рідини навколо осі Ох задано вектором кутової швидкості. Розглянемо в просторі, заповненому обертається рідиною, векторне поле лінійної швидкості рідини. Обчислити циркуляцію векторного поля F уздовж окружності l:
.
Рішення. Зробимо малюнок.
Обчислимо векторне поле
.
Отже,
.
Отже, циркуляція пропорційна кутовий швидкості ?, площі кола S і є зручною характеристикою для опису обертального руху рідини.
Введемо ще одну величину, що описує обертальні властивості векторного поля. Близько деякої точки М опишемо замкнутий контур l , що лежить в деякій площині Р і обмежує площу S .
Обчислимо циркуляцію вектора F вздовж контуру l і розділимо її на площу <...
