="justify">.
Відповідь:
.
Криволінійний інтеграл першого роду можна обчислювати також від векторної або тензорною функції
.
Тут обчислюються три інтеграла від відповідних координат вектора. Аналогічно можна ввести криволінійний інтеграл першого роду від тензорної функції, обчислюючи відповідний інтеграл від кожної компоненти тензора.
Розглянемо тепер векторне поле
і задану криву АВ, яку розіб'ємо на маленькі відрізки завдовжки. Виберемо напрямок від А до В і будемо вважати відрізки спрямованими (векторами). На кожному відрізку можна задати скалярний твір.
Визначення 2. Криволінійним інтегралом другого роду називається межа інтегральної суми
Криволінійні інтеграли другого роду часто називають інтегралами по координатах. Їх можна записувати у вигляді
.
Якщо функція задає силу в точці М, то криволінійний інтеграл визначає роботу, яку здійснює ця сила при переміщенні матеріальної точки по кривій АВ.
Криволінійний інтеграл другого роду по замкнутій кривій називають циркуляцією векторної функції і позначають символом
.
Приклад 3. Обчислити криволінійний інтеграл
уздовж лінії.
Рішення. Зробимо малюнок.
Зробимо обчислення
.
Відповідь: 2.
Приклад 4. Обчислити криволінійний інтеграл
вздовж еліпса. Обхід контуру інтегрування проводиться за годинниковою стрілкою.
Рішення. Зробимо малюнок
Після обчислень отримаємо
.
Відповідь:.
Даний інтеграл є циркуляцією векторного поля.
. Поверхневі інтеграли та їх обчислення
Розглянемо деякий скалярний полі. Нехай у просторі задана поверхня S, яка описується рівнянням. Розіб'ємо поверхню на маленькі елементи площею, всередині кожного елемента виберемо точку.
Складемо інтегральну суму
.
Визначення 1. Поверхневим інтегралом першого роду називається межа інтегральної суми
.
Поверхневі інтеграли першого роду часто називають інтегралами по поверхні. Якщо поверхня задана рівнянням, то елемент поверхні визначається формулою
і обчислення поверхневого інтеграла першого роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла
.
Якщо функція задає поверхневу щільність електричного заряду на поверхні S, то поверхневий інтеграл першого роду дозволяє визначити сумарний заряд поверхні S.
Приклад 1. Обчислити інтеграл по поверхні
,
де...
