о припускати, що функції? (x) і j (x) є безперервними. На площині X0Y побудуємо графіки функції Y=x і Y =? (X). Кожен речовинний корінь x * рівняння є абсцисою точки перетину кривої Y =? (X) з прямою Y=x. Починаючи з деякої точки A0 (x0,? (X0)), будуємо ламані лінії A0B1A1B2A2 ... (сходи), ланки якої поперемінно паралельні осі 0X і осі 0Y, причому вершини A0, A1, A2 ... лежать на кривій Y =? (X) . Загальні абсциси точок A1 і B1, A2 і B2 ... являють собою послідовні наближення x1, х2, ..., хk, ... кореня x *, які сходяться до нього монотонно і однобічно.
Рис. 1.
На рис. 1 представлений випадок, коли 0
Рис. 2.
Якщо | j (x) |> 1, тобто кут нахилу дотичної до кривої? (x) перевищує 450, то в цьому випадку ітерації сходу не будуть (рис.3).
Рис. 3.
Якщо ж | j (x) | <1 в деякій околиці кореня, а далеко від нього це нерівність не виконується, то ітераційний процес буде збіжним тільки в тому випадку, якщо початкове наближення x0 вибрано досить близько до кореня (рис. 4).
Рис. 4.
При довільному виборі початкового наближення збіжності може не бути (рис. 5).
Рис. 5.
1.4 Рішення нелінійного рівняння методом ітерацій
Розглянемо рівняння у=ln (x) - x + 1,8. Уявімо його у вигляді x=ln (x) + 1,8.
Перевіримо умову збіжності, знайшовши похідну від функції f (x) і підставивши в вийшло вираження кінці відрізка [2,3].
f (x)=(ln (x) + 1,8)=1 / x; (X)=1/2=0,5;
f (x)=1/3=0,3333333;
Як бачимо, умова збіжності ітераційного процесу виконується, тобто f (x) <1.
З відрізка, на якому визначено корінь рівняння, вибираємо довільну точку xo=2. Потім послідовно обчислюємо x 1, x 2, xk, підставляючи xo в формулу (1). Отримаємо наступне:
x k F (x k +1 )22,4931471812,4931471812,713545842,713545842,7982562082,7982562082,828996442,828996442,8399220342,8399220342,8437765992,8437765992,8451329572,8451329572,84560982,84560982,8457773862,8457773862,8458362772,8458362772,845856972,845856972,8458642422,8458642422,8458667972,8458667972,8458676952,8458676952,8458680112,8458680112,8458681212,8458681212,845868162,845868162,8458681742,8458681742,8458681792,8458681792,845868181
За отриманими даними побудуємо графік функції x=ln (x) + 1,8
Рис. 6. Графік функції
Далі порівнюємо з точністю різниця між значеннями F (x k +1 ) і F (x k ) функції до тих пір, поки різниця не буде менш як точності. При виконанні умови виводимо корінь рівняння F (x k +1 ).
