ення нелінійних рівнянь, що зустрічаються в різних галузях наукових досліджень. Будь-яке рівняння в загальному випадку можна представити у вигляді
f (x)=0.
Нелінійні рівняння можна розділити на два класи - алгебраїчні і трансцендентні.
Алгебраїчними рівняннями називаються рівняння, що містять тільки алгебраїчні функції (цілі, раціональні, ірраціональні). Алгебраїчне рівняння в загальному вигляді можна представити многочленом n-ой ступеня з дійсними коефіцієнтами:
f (x)=а 0 xn + а 1 х n - 1 + ... + а n=0.
Наприклад, х 3 + х 2 + 2х=0.
трансцендентні називаються рівняння, що містять інші функції (тригонометричні, показникові, логарифмічні і т.д.), наприклад: 2x-sin x=0.
Доведено також, що не можна побудувати формулу, за якою можна було б вирішувати довільні алгебраїчні рівняння ступеня, вище четвертої.
Проте точне рішення рівняння не завжди є необхідним. Задачу відшукання коренів рівняння можна вважати практично вирішеною, якщо ми зуміємо знайти корені рівняння з заданою ступенем точності. Для цього використовуються наближені (чисельні) методи рішення.
Таким чином, рівняння типу або називається нелінійним. Вирішити рівняння - це значить знайти таке x, при якому рівняння перетворюється в тотожність. У загальному випадку рівняння може мати 0; 1; 2; ...? коренів. Розглянемо знаходження кореня нелінійного рівняння за допомогою методу ітерацій на заданому інтервалі [a, b].
1.2 Метод ітерацій
Рівняння представимо у вигляді:.
Далі на відрізку [a, b], де функція має корінь, вибирається довільна точка x0 і далі послідовно обчислюється:
(1)
Якщо на відрізку [a, b] виконана умова |?? (x) |? q <1, то ітераційний процес сходиться до кореня рівняння.
Якщо необхідно вирахувати корінь з точністю?, то процес ітерацій продовжується до тих пір, поки для двох послідовних наближень xn і xn - 1 не буде виконано:
, при цьому завжди виконується, де? задається похибкою кореня x *.
Якщо q? 0.5, то можна користуватися співвідношенням.
Процес визначення інтервалу ізоляції [a, b], який містить тільки один з коренів рівняння, називається відділенням цього кореня.
Процес відділення коренів проводять виходячи з фізичного змісту прикладної задачі, графічно, за допомогою таблиць значень функції f (x) або за допомогою спеціальної програми відділення коренів. Процедура відділення коренів заснована на відому властивість безперервних функцій: якщо функція неперервна на замкненому інтервалі [a, b] і на його кінцях має різні знаки, тобто f (a) f (b) <0, то між точками a і b є хоча б один корінь рівняння f (x)=0. Якщо при цьому знак функції f '(x) на відрізку [a, b] не змінюється, то корінь є єдиним на цьому відрізку.
Процес визначення коренів алгебраїчних і трансцендентних рівнянь складається з 2 етапів:
· відділення коренів, - тобто визначення інтервалів ізоляції [a, b], всередині якого лежить кожен корінь рівняння;
· уточнення коренів, - тобто звуження інтервалу [a, b] до величини рівної заданої ступеня точності?.
1.3 Геометричний сенс
Будем...
