цтвоВ» (1666), де, мабуть, вперше з'явився термін В«комбінаторнийВ». Велике значення для становлення теорії ймовірностей і комбінаторики мала робота Я. Бернуллі (1654-1706) В«Мистецтво припущеньВ» (1713), присвячена основним поняттям теорії ймовірностей, де докладно викладено також і ряд комбінаторних понять і вказані їх застосування для обчислення ймовірностей. Можна вважати, що з появою робіт Г. Лейбніца і Я. Бернуллі комбінаторні методи виділися в самостійну частина математики. З роботи Бернуллі по суті починається становлення теорії ймовірностей як науки. Доведена їм теорема, що отримала згодом назву В«закону великих чиселВ», була першим теоретичним обгрунтуванням накопичених раніше фактів. p align="justify"> Видатна роль у розвитку теорії ймовірностей належить знаменитому математику П. Лаплас (1749-1827). Він вперше дав струнке і систематичне виклад основ теорії ймовірностей: В«Аналітична теорія ймовірностейВ» (1812). Він дав доказ однієї з форм центральної граничної теореми (теореми Муавра-Лапласа) і розвинув ряд чудових додатків теорії ймовірностей до питань практики, зокрема до аналізу помилок спостережень і вимірювань. p align="justify"> У розвитку теорії ймовірностей взяла участь величезна кількість чудових учених. Однак становлення теорії ймовірностей як строгої математичної науки, заснованої на аксіоматичному методі, пов'язано в першу чергу з видатним радянським математиком О.М. Колмогоровим (1903-1987). У 1933 р. вийшла книга Колмогорова В«Основні поняття теорії ймовірностейВ», в якій була запропонована аксіоматика, що отримала загальне визнання і дозволила охопити не тільки всі класичні розділи теорії ймовірностей, а й дати сувору основу для розвитку її нових розділів, викликаних запитами природознавства.
Відродження інтересу до комбінаторики відноситься до 50-м рокам XX в. Це пов'язано з бурхливим розвитком кібернетики і дискретної математики і широким використанням ЕОМ. У цей період активізувався інтерес і до класичних комбінаторним задачах. Швидко зросла кількість комбінаторних завдань і їх різноманітність. У багатьох галузях математики (теорія графів, теорія чисел, теорія груп, кібернетика, обчислювальна математика та ін) є завдання або групи завдань, комбінаторний характер яких вгадується без особливих зусиль. p align="justify"> У даних методичних вказівках розбираються класичні завдання і методи комбінаторики і теорії ймовірностей.
1. ПРИНЦИП МНОЖЕННЯ
При вирішенні комбінаторних задач використовуються два правила: принцип множення і принцип складання.
Принцип множення. Якщо елемент А можна вибрати з деякого безлічі m способами і якщо після кожного такого вибору елемент B можна вибрати n способами, то пара елементів (А, В) в зазначеному порядку може бути обрана (m Г— n) способами.
Приклад 1.1. З пункту А в пункт В ведуть 3 дороги, а з пункту В в пункт С - 4 дороги. Скількома способами можна зробити поїздку з А в С через У? p align="justify"> Рішення. У пункті А є 3 способи вибору дороги в пункт В, а в пункті В є 4 способи потрапити в пункт С. Згідно з принципом множення, існує 3 Г— 4 = 12 способів потрапити з пункту А в пункт С.
Принцип множення легко узагальнюється на випадок вибору трьох і більше елементів.
Приклад 1.2. Скільки чотиризначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4 і 5, якщо: а) цифри не повторюються; б) повторення допустимо, в) числа повинні бути непарні і без повторення. p align="justify"> Рішення. а) Першу цифру можна вибирати 5-ма способами. Так як в числі цифри не повторюються, те другу цифру вже можна вибрати з чотирьох, що залишилися 4-ма способами. Далі отримуємо, що третю цифру можна вибрати 3-ма способами і четверту - двома. Таким чином, число можливих чотиризначних чисел дорівнює N = 5 Г— 4 Г— 3 Г— +2 = 120.
б) Так як повторення допустимі, то кожну цифру можна вибирати щоразу з 5 наявних цифр, тобто п'ятьма способами. Тоді число можливих чисел дорівнює N = 5 Г— 5 Г— 5 Г— 5 = 54 = 625.
в) У непарного числа остання цифра непарна, тобто в даному випадку може бути або 1, або 3, або 5. Тому на це місце можна поставити будь-яку з цих трьох чисел. Після цього на місця, що залишилися можна поставити: чотири цифри, три цифри і дві цифри, бо ніякі з п'яти цифр не можна викор...
