небрежимо мала, тобто такі події практично неможливі. Тому на графі немає стрілок, перескакувати через стану справа наліво.
З'ясуємо, які інтенсивності потоків подій, що переводять СМО по стрілках справа наліво.
На перехід зайнятого каналу до стану вільного діє найпростіший потік обслуговування з інтенсивністю. Але тоді перехід СМО в цілому зі стану (в якому до каналів зайняті, а вільні) в стан (в якому в порівнянні з попереднім звільнився один з зайнятих каналів) відбувається під впливом сумарного потоку обслуговуванні, що представляє собою результат накладення k потоків обслуговуванні, діючих на кожен із зайнятих каналів. При цьому інтенсивність сумарного потоку дорівнює сумі інтенсивностей доданків потоків:
Таким чином,
Отже, ми отримали розмічений граф станів -Канальний СМО з відмовами, з якого видно, що математичною моделлю процесу, що протікає в цій СМО, є процес загибелі і розмноження. Причому, під розмноженням можна розуміти процес збільшення числа зайнятих каналів, тобто переходи СМО зі стану в стан по стрілках зліва направо, а загибель інтерпретувати, як зменшення числа зайнятих каналів, тобто переходи системи по стрілках справа наліво.
Користуючись загальним правилом складання диференціальних рівнянь Колмогорова, можна для ймовірностей станів, скласти по графу на рис. 1.1 наступну систему диференціальних рівнянь:
яка у разі розглянутої СМО називається системою диференціальних рівнянь Ерланга.
Ймовірності станів в будь-який момент часу задовольняють нормувального умові
У початковий момент часу t=0 спостереження за СМО природно вважати, що вона знаходиться в стані, тобто всі канали були вільні. Тому початкові умови для рішення системи (1.3) виглядають наступним чином:
Рішення загальних систем диференціальних рівнянь Ерланга в аналітичному вигляді представляє значні труднощі. На практиці такі системи вирішуються зазвичай в чисельному вигляді на ЕОМ.
При досить тривалому протіканні процесу в розглянутій СМО встановлюється стаціонарний режим, що характеризується граничними імовірностями станів СМО:
які, як це. випливає з нормувального умови (1.4), задовольняють нормувального умові
(1.5)
Для обчислення граничних ймовірностей станів, можна попередньо, вирішивши систему диференціальних рівнянь Ерланга (1.3), знайти ймовірності станів, а потім підрахувати їх межі при.
Можна зробити й інакше. Спочатку в кожному з диференціальних рівнянь системи Ерланга (1.3) перейти до межі при. У результаті з системи диференціальних рівнянь (1.3) можна отримати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь, невідомими в якій якраз і будуть граничні ймовірності
Вирішивши цю систему, отримаємо значення.
Але ми знайдемо граничні ймовірності із загальних формул (3.19) - (3.21), виведених для процесу загибелі і розмноження, підставляючи в них значення щільності ймовірностей переходів за формулами (1.1) і (1.2).
Таким чином, отримуємо наступні формули для обчислення граничних ймовірностей, виражені через і:
(1.6)
З формул (1.6) видно, що граничні ймовірності,, залежать від інтенсивності вхідного потоку та інтенсивності потоку обслуговуванні не окремо, а від їх ставлення. Позначимо це відношення через:
Величину називають наведеної інтенсивністю вхідного потоку або показником навантаження СМО, або трафіком. Так як, то
і таким чином приведена інтенсивність вхідного потоку являє собою середнє число заявок, що надійшли на вхід СМО за середній час обслуговування однієї заявки одним каналом, і є показником навантаження системи. Одиниця виміру цього показника-ерланг.
Підставивши вираз (1.7) в систему (1.6), отримаємо
(1.9)
Формули (1.9) називаються формулами Ерланга. Вони висловлюють граничні ймовірності станів СМО через число каналів і показник навантаження. Граничні ймовірності станів можна виразити також і через середній інтервал часу між двома сусідніми заявками але вхідному потоці і середній час обслуговування однієї заявки одним каналом. Для цього досить виразити через ці середні часи наведену інтенсивність. Підставами в рівність (1.8) величину
:. (1.10)
А тепер, підставивши рівність (1.10) у формули Ерланга (1.9), отримаємо необхідні формули:
Знаючи всі граничні ймовірності станів
можна знайти граничні характеристики ефективності СМО.
Далі для стислості у назві граничні характеристики будемо опускати прикметник граничні raquo ;. Замість гранична ймовірність відмови raquo ;, і т.д. будемо говорити відповідно ймовірність відмови raquo ;, і т.д.
За визначенням СМО з відмовами, зая...
