сть принципу незалежності або накладення (суперпозиції). Суть цього принципу може бути сформульована таким чином: при дії на лінійну ланцюг декількох зовнішніх сил поведінку ланцюга можна визначати шляхом накладення рішень, знайдених для кожної з сил окремо. Іншими словами, в лінійній ланцюга сума реакцій цього ланцюга від різних впливів збігається з реакцією ланцюга від суми впливів. При цьому передбачається, що ланцюг вільна від початкових запасів енергії.
З теорії інтегрування лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами слід ще одне фундаментальне властивість лінійних ланцюгів. При будь-якому як завгодно складному впливі в лінійній ланцюга з постійними параметрами не виникає нових частот. Це означає, що жодне з перетворень сигналів, що супроводжуються появою нових частот (т. Е. Частот, відсутніх у спектрі вхідного сигналу), не може в принципі бути здійснене за допомогою лінійного ланцюга з постійними параметрами.
. Аналіз перетворення сигналів лінійними ланцюгами в частотній області
Класичний метод аналізу процесів у лінійних ланцюгах часто виявляється пов'язаним з необхідністю проведення громіздких перетворень.
Альтернативою класичним методом є операторний (операційний) метод. Його суть полягає в переході допомогою інтегрального перетворення над вхідним сигналом від диференціального рівняння до допоміжного алгебраическому (операційного) рівнянню. Потім знаходиться вирішення цього рівняння, з якого за допомогою зворотного перетворення отримують рішення вихідного диференціального рівняння.
В якості інтегрального перетворення найбільш часто використовують перетворення Лапласа, яке для функції s ( t ) дається формулою:
де p - комплексна змінна:. Функція s (t ) називається оригіналом, а функція S ( p )- її зображенням.
Зворотний перехід від зображення до оригіналу здійснюється за допомогою зворотного перетворення Лапласа
Виконавши перетворення Лапласа обох частин рівняння (*), отримаємо:
.
Ставлення зображень Лапласа вихідного і вхідного сигналів носить назву передавальної характеристики (операторного коефіцієнта передачі) лінійної системи:
.
Якщо передавальна характеристика системи відома, то для знаходження вихідного сигналу по заданому вхідному сигналу необхідно:
· - знайти зображення Лапласа вхідного сигналу;
· - знайти зображення Лапласа вихідного сигналу за формулою
· - по зображенню S вих ( p ) знайти оригінал (вихідний сигнал ланцюга).
В якості інтегрального перетворення для вирішення диференціального рівняння може використовуватися також перетворення Фур'є, що є окремим випадком перетворення Лапласа, коли змінна p містить тільки уявну частину. Відзначимо, що для того щоб до функції можна було застосувати перетворення Фур'є, вона повинна бути абсолютно интегрируемой. Це обмеження знімається в разі перетворення Лапласа.
Як відомо, пряме перетворення Фур'є сигналу s ( t ), заданого в тимчасовій області, є спектральною щільністю цього сигналу:
.
Виконавши перетворення Фур'є обох частин рівняння (*), отримаємо:
Ставлення зображень Фур'є вихідного і вхідного сигналів, тобто ставлення спектральних густин вихідного і вхідного сигналів, називається комплексним коефіцієнтом передачі лінійної ланцюга:
Якщо комплексний коефіцієнт передачі лінійної системи відомий, то знаходження вихідного сигналу для заданого вхідного сигналу роблять у наступній послідовності:
· визначають за допомогою прямого перетворення Фур'є спектральну щільність вхідного сигналу;
· визначають спектральну щільність вихідного сигналу:
· за допомогою зворотного перетворення Фур'є знаходять вихідний сигнал, як функцію часу
Якщо для вхідного сигналу існує перетворення Фур'є, то комплексний коефіцієнт передачі може бути отриманий з передавальної характеристики заміною р на j w.
Аналіз перетворення сигналів в лінійних ланцюгах з використанням комплексного ко...
