c + 10),
де числа a , b , c - цілі? p> Рішення.
Можна перебирати випадки, пов'язані з парністю або непарних чисел а, b , c (8 випадків!), але простіше поступити інакше. Складемо множники:
(7 a + b - 2 c + 1) + (3 a - 5 b + 4 c + 10) =
= 10 a - 4 b + 2 c + 11.
Так як отримана сума непарна, то один з множників даного твору четен, а інший непар. Отже, сама твір парне.
Відповідь: парне.
5.4. Нехай а 1 , а 2 , а 3 , ..., а 25 - цілі числа, а з 1 , з 2 , з 3 , ..., з 25 - ті ж самі числа, взяті в іншому порядку. Доведіть, що число
(а 1 - з 1 ) (а 2 - З 2 ) (а 3 - з 3 ) ... (а 25 - з 25 )
є парним.
5.5. парні або непарні число
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 993?
Рішення.
Різниця 1 - 2 має ту ж парність, що і сума 1 + 2, різниця 3 - 4 - ту ж парність, що і сума 3 + 4, і т. д. Тому дана сума має ту ж парність, що і сума
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 993.
З 993 доданків останньої суми 496 парних і 497 непарних, отже, сума непарній. p> п о в е т: непарній.
5.6. На прямій розташовано кілька точок. Потім між кожними двома сусідніми точками поставили ще по точці. І т. д. Доведіть, що після кожної такої операції загальна кількість точок буде непарним.
Вказівка.
Якщо є п точок і до них додається ще п - 1 проміжних точок, то загальне число точок стає непарних, так як п + ( п -1) == 2 п - 1.
5.7. Знайдіть всі цілі значення а, при яких число
x 3 + ax 2 + 5x + 9
непарній для всіх цілих значень х.
5.8. На семи картках написали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 і 7. Потім картки перевернули, перемішали і на зворотних сторонах написали ті ж числа. Числа, написані на обох сторонах кожної картки, склали і отримані суми перемножили. Парні або непарні отримане твір? p> Рішення.
Припустимо, що твір непарній. Для цього всі 7 множників повинні бути непарними. Але тоді у чотирьох карток, у яких на одній стороні написані непарні числа 1, 3, 5, 7, на іншій стороні повинні бути числа парні. Однак парних чисел тут - тільки три. Отже, цей випадок неможливий.
Відповідь: парне.
5.9. Доведіть, що в будь-якій компанії число тих людей, які знайомі з непарним числом членів компанії, парне.
<...
