b> Рішення.
Позначимо число людей, які мають у компанії непарне число знайомих, через k , а число знайомих цих людей відповідно через a 1 , a 2 , ..., a k . Крім того, число людей, знайомих з парним числом членів компанії, позначимо через n , а число знайомих цих людей відповідно через b 1 , b 2 , ..., b n . Тоді загальне число знайомств одно
( a 1 + a 2 + ... + a k + < i> b 1 + b 2 + ... + b n )/2
Сума b 1 + b 2 + ... + b n парна, так як всі її доданки парні.
Тоді для того, щоб ця дріб дорівнювала цілого числа, сума
a 1 + a 2 + ... + a k , повинна бути парному. Але всі доданки останньої суми непарні, тому число k доданків суми може бути тільки парних.
5.10. Доведіть, що немає багатогранника, у якого 1997 граней - трикутники, а інші грані - чотирикутники і шестикутники.
5.11. Коло розділили на 40 рівних дуг і в 40 точках ділення поставили по шашці. Серед шашок 25 білих і 15 чорних. Доведіть, що серед шашок знайдуться біла і чорна, які стоять на кінцях одного діаметра.
Рішення.
Припустимо, що це не вірно. Розглянемо будь-яку білу шашку і діаметр, на якому вона стоїть. Тоді на нашу допущенню на іншому кінці цього діаметру повинна стояти теж біла шашка. Виходить, що всього білих шашок (як і чорних) парне число. Але останнє суперечить умовою задачі.
5.12. Сума номерів будинків одного кварталу дорівнює 99, а сусіднього кварталу тієї ж вулиці - 117. Знайдіть номери всіх будинків цих кварталів.
5.13. У певному натуральному числі довільно переставили цифри. Доведіть, що сума отриманого числа з вихідним не може бути дорівнює 999 ... 9 (125 дев'яток). p> Рішення.
Позначимо вихідне число через а , число, отримане з нього після перестановки цифр - через b .
Припустимо, що рівність
а + b = 999 ... 9 (125 дев'яток)
можливо. Тоді при додаванні чисел а і b НЕ може бути перенесення одиниці в наступний розряд. Так як сума цифр чисел а і b рівні, то сума цифр у числа а + b в два рази більше, ніж у числа а , а означає вона парна. Але з іншого боку, ця сума дорівнює 9125, а отже, н ечетна. ...
