Ми одержали протиріччя. p>
5.14 . Яку найбільшу кількість натуральних чисел можна записати в рядок так, щоб сума будь-яких трьох сусідніх чисел була парною, а сума будь-яких чотирьох сусідніх чисел - непарної?
Рішення.
Позначимо послідовні натуральні числа рядка через а 1 , а 2 , а 3 і т. д.
За умовою суми
а 1 + а 2 + а 3 , а 2 + а 3 + а 4 , а 3 + а 4 + а 5 , а 4 + а 5 + а 6
та інші парні. Віднімаючи з кожної суми, починаючи з другої, попередню отримаємо, що різниці
а 4 - а 1 , а 5 - А 2 , а 6 - а 3 , ...
парні, а отже, мають однакову парність пари чисел
а 4 і а 1 , а 5 і а 2 , а 6 і а 3 і т. д.
Випишемо непарні суми, що складаються з чотирьох сусідніх чисел: а 1 + а 2 + а 3 + а 4 = (а 1 + а 2 + а 3 ) + а 4 ,
а 2 + а 3 + а 4 + а 5 = (а 2 + а 3 + а 4 ) + а 5 ,
а 3 + а 4 + а 5 + а 6 = (а 3 + а 4 + а 5 ) + а 6, ...
Звідси випливає, що числа а 4 , а 5 , а 6 і т. д. непарні. Але тоді сума а 4 + а 5 + А 6 непарна, а це суперечить умові. p> Отримане протиріччя виникає щоразу, коли чисел не менш шести. Спробуємо взяти п'ять чисел. p> Міркуючи аналогічно, встановлюємо, що числа а 4 , а 5 непарні, а отже, по попередньому, непарні і числа а 1 , а 2 . Тоді, так як сума а 1 + а 2 + а 3 парна, то число а 3 парне.
Зробимо ще перевірку і переконаємося в тому, що якщо взяти п'ять чисел а 1 , а 2 , а 3 , а 4 , а 5 , де число а 3 парне, а інші непарні, то кожна із сум а 1 + а 2 + а 3 , а 2 + а 3 + а 4 , а 3 + а 4 + а 5 парна, а кожна із сум а 1 + а 2 + а 3 + А 4 , а 2 + а 3 + а 4 + а < sub> 5 непарна. p> Відповідь: 5.
<...
