p>
5.15. Чи можна на картатій папері, зафарбувати 25 клітин так, щоб у кожної з них було: а) парне, б) непарне число зафарбованих сусідів? (Клітини називаються сусідами, якщо у них спільна сторона)
Рішення.
Припустимо, що вдалося зафарбувати 25 клітин потрібним чином. Спробуємо знайти число загальних сторін зафарбованих клітин і прийдемо до протиріччя. Порахуємо, скільки у кожної клітини загальних сторін з сусідами, складемо отримані числа і суму розділимо навпіл (так як кожну спільну сторону ми вважали при цьому двічі). У кожної клітини - непарне число сусідів, і клітин 25. Сума 25 непарних чисел непарна і тому без остачі на 2 цієї статті не ділиться.
Відповідь: а) можна, б) не можна.
Така ж міркування показує, що за будь непарному n, зафарбувати n клітин так, щоб у кожної була непарна число зафарбованих сусідів, неможливо. У разі будь-якого парного n така розмальовка можлива.
5.16. Чи існує замкнута ламана, яка перетинає кожне свою ланку рівно один раз і складається з: а) 6 ланок, б) 7 ланок? p> Прості й складені числа
Натуральне число, більше 1, називається простим , якщо воно ділиться тільки на 1 і на саме себе. Натуральне число називається складовим , якщо воно має більше двох різних дільників.
Прийнято вважати, що число 1 не відноситься ні до простим, ні до складених числах.
Звідси випливає, що безліч натуральних чисел можна розбити на такі три підмножини: безліч простих чисел, безліч складених чисел і безліч містить єдиний елемент 1.
Справедлива наступна теорема.
Будь-яке натуральне число, більше 1, можна і притому єдиним чином представити у вигляді добутку простих чисел.
Ця пропозиція називається основний теоремою арифметики натуральних чисел.
Серед простих дільників натурального числа можуть бути рівні, і їх твір можна записати у вигляді ступеня. Тоді розкладання натурального числа а на прості множники можна представити у наступному вигляді:
a = p 1 k 1 p 2 k 2 ... p n kn ,
де p 1 , p 2 , ..., p n - різні прості числа, k1, k2, ..., kn - натуральні.
Завдання
5.17. До двозначного числа приписали таке ж число. Чи може отримане число бути простим?
5.18. До числа, що є твором двох послідовних натуральних чисел, приписали праворуч число 21. Доведіть, що отримане число - складене.
5.19. Натуральні числа a і b такі, що 31 a = 54 b . Доведіть, що число a + b - складене. p> Рішення.
Так як число 31 а ділиться на 54 і числа 31 і 54 - взаємно прості, то а ділиться на 54: a = 54 n ; де ...
