овірність всіх станів дорівнює , оскільки довжина вектора передбачається одиничною. (Ймовірності будуть докладно обговорюватися пізніше; до деяких пір ми будемо займатися лінійної алгеброю - вивчати унітарні оператори на просторі ).
Ми будемо використовувати (і вже використовували) прийняті у фізиці позначення, пов'язані з векторах і скалярному твору у гільбертовому просторі (їх ввів Дірак). Вектори позначаються , скалярний твір - . Якщо і , те . (Тут і далі позначає комплексне сполучення.) У записі векторів дужки потрібні лише "для краси" - вони вказують на тип об'єкту і надають симетрію позначенням (див. нижче). Замість можна було б написати просто , хоча це і не прийнято. Тому - і те, і інше позначає вектор .
Скалярний твір антілінейно по першому аргументу1) <# "49" src = "doc_zip1174.jpg"/>
Якщо в позначенні скалярного твори взяти ліву половину, то отримаємо бра-вектор, тобто лінійний функціонал на кет-векторах (векторах нашого простору). Бра-і кет-вектори знаходяться у взаємно однозначній відповідності. (Тим не менше, потрібно їх якось розрізняти - саме для цього і були введені кутові дужки.) Через антілінейності скалярного твори по першому аргументу маємо рівність. Бра-вектор можна записати у вигляді рядка, а кет-вектор - у вигляді стовпчика (щоб його можна було помножити зліва на матрицю):
В
Запис (- лінійний оператор) можна тлумачити двояко: або як скалярний твір вектора на вектор, або як - на. Так з'являється зв'язаний оператор: за визначенням, (бра-вектор, відповідний) дорівнює лінійному функціоналу. З визначення відразу випливає, що
В
Унітарний оператор - це лінійний оператор, який зберігає скалярний твір. Умова
В
еквівалентно тому, що (де - тотожний оператор).
Наше визначення скалярного твори на узгоджене з тензорним твором:
В
Надалі буде використовуватися тензорне твір операторів. Воно діє в тензорному творі просторів, на яких діють сомножители, за правилом
В
Якщо оператори задані в матричному вигляді в деякому базисі, тобто
В
(легко зрозуміти, що - лінійний оператор:), то матричні елементи оператора мають вигляд.
Обчислення складається з перетворень, вважають елементарними (виконуваних за одиницю часу).
Елементарне перетворення в класичному випадку: така функція з в , яка залежить від невеликого (не залежного від ) числа бітів і змінює також ...
