єнтів.
.
21. Дослідити на збіжність ряд
т.е. члени даного ряду менше відповідних членів узагальненого гармонійного ряду з показником який, як відомо, сходиться . За ознакою порівняння і даний ряд сходиться.
22. Дослідити на збіжність ряд
Доведемо расходимость ряду, застосовуючи інтегральний ознака Коші.
За ознакою порівняння даний ряд тим більше розходиться.
23. Знайти область збіжності функціонального ряду
Застосуємо ознака Даламбера.
Даний ряд сходиться, якщо (тобто при) і розходиться, якщо.
При ряд приймає вигляд:
.
Цей ряд Знакозмінні; його загальний член, монотонно убуваючи за абсолютною величиною, прагне до нуля; за ознакою Лейбніца ряд сходиться. При ряд приймає вигляд:
Цей ряд розходиться разом з гармонійним поруч, так як
.
Отже, областю збіжності даного ряду є напіввідкритий проміжок.
24. Знайти область збіжності функціонального ряду
Застосуємо ознака Даламбера.
Даний ряд сходиться, якщо (тобто при) і розходиться, якщо.
При ряд приймає вигляд: Цей ряд сходиться за ознакою Лейбніца. При отримуємо ряд який розходиться разом з гармонійним поруч.
Отже, областю збіжності даного ряду є напіввідкритий проміжок.
25. Довести, виходячи з визначення, рівномірну збіжність функціонального ряду на відрізку. За яких n абсолютна величина залишкового члена ряду не перевершує 0,1
Розглянемо залишок ряду після m -го члена:. Цей ряд Знакозмінні; на відрізку його загальний член, монотонно убуваючи за абсолютною величиною, прагне до нуля; за ознакою Лейбніца ряд сходиться. Відомо також, що абсолютна величина суми цього ряду не перевершує абсолютної величини першого члена ряду, т.е.
Задамося довільним. Вирішуючи нерівність, знаходимо:. Отже при всіх нерівність буде виконуватися, це і означає рівномірну збіжність даного функціонального ряду на відрізку.
Абсолютна величина залишкового члена ряду не перевершує 0,1 при всіх значеннях n , що задовольняють нерівності, тобто при.
26. Знайти суму ряду
.
Знайдемо спочатку область збіжності даного ряду, примения ознака Даламбера.
Даний ряд сходиться, якщо (тобто при) і розходиться, якщо.
При отримуємо ряд, який сходиться, так як його члени менше відповідних членів сходящегося узагальненого гармонійного ряду Позначимо суму ряду через Як відомо, всередині проміжку збіжності степеневий ряд можна диференціювати й інтегрувати почленно. При маємо:
.
(Ми скористалися формулою суми нескінченно спадної геометричної прогресії).
Очевидно, що Отже
;
.
Ми знайшли вираз для в припущенні. Але, оскільки даний ряд сходиться і при, то (по теоремі Абеля) його сума зберігає безперервність (зрозуміло односторонню) і в цих точках. Отже
.
27. Розкласти функцію в ряд Тейлора за ступенями х .
.
(Була використана формула для суми нескінченно спадної геометричної прогресії).
28. Обчислити інтеграл з точністю до 0,001.
Останній ротрута є Знакозмінні з монотонно убутними за абсолютною величиною членами, тому похибка відкидання залишку має знак першого з oтброшенних членів і не перевершує його за абсолютною величиною, тобто не перевищує Отже з точністю до 0,001 даний інтеграл дорівнює 0,498.
29. Функція зображується ламаною лінією, що проходить через точки Розкласти функцію в ряд Фур'є на проміжку. Зобразити на одному графіку дану функцію і її часткові суми ряду Фур'є, що містять гармоніки першого, другого і третього порядків.
Складемо рівняння прямих АВ і АС по двох точках.
Потрібно розкласти в ряд Фур'є функцію
Як відомо, це розкладання має вигляд
де
;
.
- шукане розкладання.
Зобразимо на графіку дану функцію і її часткові суми ряду Фур'є, що містять гармоніки першого, другого і третього порядків, користуючись програмою Mathcad (а як ще можна побудувати графіки функцій, у яких дуже скрутно знайти точки екстремумів і точки перегинів?!).
гіпербола функція гаус Крамер
