10. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, заданими рівняннями:
Перша лінія - еліпс з півосями і, осі якого збігаються з осями координат. Друга лінія - горизонтальна пряма; отже, фігура, обмежена даними лініями, є еліптичним сегментом. Значення параметра, відповідні точкам перетину даних ліній, знайдемо з рівняння. Звідси;. Знайдемо абсциси точок перетину:
.
Очевидно, що при; при цьому
(кв. од.).
11. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, заданими рівняннями в полярних координатах:
Знайдемо полярні кути точок перетину даних ліній.
.
Дана фігура складається з трьох однакових частин (пелюсток), відповідних наступним проміжкам зміни ? :
Площа даної фігури виражається формулою:
(кв. од.).
12. Обчислити довжину дуги кривої
Бажаєма довжина дуги виражається інтегралом
13. Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями:
Дане тіло обмежене знизу площиною зверху і з боку одного - площиною а з інших боків - поверхнею еліптичного циліндра. Проекцією тіла на площину Oxy є постать. Фігуру D можна також визначити нерівностями
.
Зробимо креслення.
Обсяг тіла виражається інтегралом:
(куб. од.).
14. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння
Дане диференціальне рівняння можна записати у вигляді або і вирішувати його як однорідне. Зробимо заміну де u - деяка функція від аргументу х . Тоді Диференціальне рівняння приймає вигляд: Поділяємо змінні та інтегруємо.
Ми отримали загальне рішення даного диференціального рівняння.
15. Знайти рішення задачі Коші:
Знайдемо спочатку спільне рішення даного диференціального рівняння. Це лінійне рівняння. Зробимо заміну: де Тоді Диференціальне рівняння приймає вигляд:
або.
Підберемо функцію так, щоб вираз в дужках звернулося в нуль.
При такому виборі функції маємо:
- спільне рішення.
Знайдемо тепер приватне рішення, яке задовольняє заданому початковому умові.
- шукане приватне рішення (рішення задачі Коші).
16. Знайти рішення задачі Коші:
Знайдемо спочатку спільне рішення даного диференціального рівняння. Це рівняння
Бернуллі. Зробимо заміну: де Тоді
Диференціальне рівняння приймає вигляд:
або
або
Підберемо функцію так, щоб вираз в дужках звернулося в нуль.
При такому виборі функції маємо:
- спільне рішення.
Знайдемо тепер приватне рішення, яке задовольняє заданому початковому умові.
- шукане приватне рішення (рішення задачі Коші).
17. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння
Дане диференціальне рівняння є рівнянням в повних диференціалах, оскільки
Знайдемо загальний інтеграл цього рівняння за допомогою криволінійного інтеграла, взятого по ламаній АВC , де
- загальний інтеграл.
18. Знайти спільне рішення диференціального рівняння
.
Дане диференціальне рівняння - лінійне неоднорідне. Як відомо, його загальне рішення можна записати у вигляді: y= , де - якесь приватне рішення, а Y - спільне рішення відповідного однорідного рівняння.
Легко помітити, що характеристичне рівняння має корінь.
Знизити за допомогою цього кореня ступінь рівняння і знайдемо два інших кореня.
;.
Отже
Приватне рішення будемо шукати у вигляді:
Тоді
Підставами ці вирази в дане диференціальне рівняння:
.
Звідси
Таким чином, загальне рішення має вигляд: .
19. Знайти спільне рішення диференціального рівняння
У позначеннях попередньої задачі: y=
Характеристичне рівняння k 2 + 16=0 має корені: отже,
Приватне рішення будемо шукати у вигляді: Тоді
Підставами ці вирази в дане диференціальне рівняння:
.
Таким чином, загальне рішення має вигляд:
.
20. Знайти суму ряду
Уявімо загальний член ряду у вигляді суми простих дробів методом невизначених коефіці...
