бляють функції послідовності чисел Фібоначчі є:
· Суми біноміальних коефіцієнтів на діагоналях трикутника Паскаля є числами Фібоначчі.
3. Послідовність Фібоначчі і золотий перетин
Найвідомішим властивістю послідовності є: ставлення наступного і попереднього членів є підходящим числом золотої пропорції.
Золотий перетин (золота пропорція, ділення в крайньому і середньому відношенні) - ділення безперервної величини на дві частини в такому відношенні, при якому менша частина так відноситься до більшої, як велика до всієї величини.
Ставлення більшої частини до меншої в цій пропорції виражається квадратичної ірраціональністю.
Якщо розглянути золотий прямокутник, суміжні сторони якого знаходяться в золотом співвідношенні, можна переконатися, що його можна побудувати, спираючись на послідовні члени послідовності Фібоначчі: спочатку з'єднуються два квадрати зі стороною 1, потім до них приєднується квадрат зі стороною 2 і т. д. приєднуються квадрати, сторони яких відповідають числам Фібоначчі як показано на малюнку.
4. Завдання, пов'язані з послідовністю Фібоначчі
1. Числа Фібоначчі з'являються в питаннях, пов'язаних з дослідженням шляхів в різних геометричних конфігураціях. Розглянемо мережу шляхів, зображену на малюнку (таку мережу в математиці прийнято називати орієнтованим графом), і підрахуємо число шляхів, якими можна, рухаючись уздовж стрілок, перейти з вершини А або вершини В у вершину.
Позначимо числа таких шляхів. Ясно, що при початку руху, як з точки А, так і з точки В, в вершину можна потрапити двома способами: через вершину з наступним кроком вздовж похилого ребра і через вершину з подальшими кроком уздовж горизонтального ребра.
Значить an=an - 1 + an - 2, bn=bn - 1 + bn - 2.
Залишається зауважити, що a 1=1=a 2 і b 1=1=b 2, т. е. кількість шляхів відповідає числам Фібоначчі. Також зустрічаються завдання не так на підрахунок шляхів, а на вибір раціонального переходу по путям - це різні ігрові завдання, в яких числа Фібоначчі або грають роль координат вузлових точок орієнтованого графа, або допомагають вибудувати послідовність.
. Завдання
Мається 76 карток, на яких написані різні числа. Ці картки розкладені на столі по колу числом вниз. Треба знайти якихось три йдуть підряд картки такі, що число, написане на середній з цих трьох карток, більше, ніж на двох сусідніх. Перевернуть можна послідовно не більше 10 карток. Як треба діяти, щоб напевно знайти три картки, для яких виконується зазначена умова? Raquo;
Рішення:
Для побудови міркувань нам буде потрібно послідовність Фібоначчі:
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21;...
an=an - 1 + an - 2, а 1=а 2=1.
Кількість карток 76=21 + 21 + 34. (т. е. можна буде використовувати дану закономірність)
Нехай N карток розташовані по колу в вершинах N - кутника.
Якщо a, b - картки, то (a; b) - a лежить раніше b за годинниковою стрілкою .
Дуга (a; b) - проміжок між a і b.
Довжина дуги (a; b) - число сторін N - кутника між a і b.
Назвемо трійкою рангу k три відкритих (числом вгору) картки (a; b; c), що задовольняють умовам:
. на дугах (a; b) і (b; с) немає відкритих карток;
. довжини дуг (a; b) і (b; c) або обидві рівні xk, або одна - xk, а друга - x k + 1;
. число на картці b більше числа на картці а і с.
У нашій задачі треба знайти трійку рангу 1.
Подивимося, як з трійки рангу k отримати трійку рангу 1.
Нехай трійка (a; b; c) - трійка рангу k.
1 випадок : довжина обох дуг (a; b) і (b; з) дорівнюють xk.
На дузі (a; b) відкриємо точку d так, що довжини дуг (a; d) і (d; b) дорівнюють xk - 2 і xk - 1 відповідно. При цьому можливі два варіанти:
а) d lt; b? (d; b; c) - трійка рангу k - 1;
б) d gt; b? (a; d; b) - трійка рангу k - 2.
2 випадок: Довжина дуги (a; b) - x k + 1 (для визначеності), а дуги (b; с) - xk.
На більшій дузі відкриємо точку d так, що довжини дуг (a; d) і (d; b) дорівнюють xkxk - 1. Можливі два варіанти:
а) d lt; b? (d; b; c) - трійка рангу k - 1;
