stify"> б) d gt; b? (a; d; b) - трійка рангу k - 1.
Застосовуючи послідовно (в обох випадках) цей спосіб ми отримаємо трійку рангу 1, відкривши при цьому не більше k - 1 картки.
Залишається для вирішення знайти якусь трійку рангу k.
У нашому випадку: N=76=21 + 21 + 34=2 xk + x k + 1.
І всього (з початковими a; b і з нам належить відкрити k + 2 числа, т. е. у нашому випадку - 10 чисел).
Відповідь: для знаходження даної трійки чисел досить відкрити 10 карток.
. Завдання - жарт
Доведемо raquo ;, що 64=65" .
Візьмемо для цього квадрат зі стороною 8 і разрежем його на частини, як показано на малюнку.
Ці частини ми складемо в прямокутник зі сторонами 13 і 5, т. е. з площею, рівної 65.
Пояснення цьому, на перший погляд загадкового, явищу знайти неважко. Вся справа в тому, що точки A, B, C і D насправді не лежать на одній прямій, а є вершинами паралелограма, площа якого саме й дорівнює зайвої одиниці.
Це правдоподібне, але невірне доказ завідомо неправдивого висловлювання (такі докази ще називають софізмами ), можна проробити ще більш наочно і переконливо raquo ;, якщо взяти замість квадрата зі стороною 8 квадрат зі стороною, рівною деякому числу Фібоначчі з досить великим номером, an. Розіб'ємо цей квадрат на частини (див. Малюнок) і складемо з цих частин прямокутник. Порожнеча у вигляді паралелограма, витягнутого уздовж діагоналі прямокутника, має площу, рівну одиниці. Найбільша ширина цієї щілини, т. Е. Висота паралелограма, дорівнює, як легко обчислити,
.
Тому, якщо ми візьмемо квадрат зі стороною 21 см і перетворимо його в прямокутник зі сторонами 34 і 13 см, то найбільша ширина щілини вийде? 0,4 мм, що майже непомітно для ока.
5. Числа Каталана
При вирішенні багатьох завдань часто доводиться стикатися з послідовностями, заданими рекуррентно, але, на відміну від послідовності Фібоначчі, не завжди можливо отримати її аналітичне завдання.
У 1973 році в США був виданий Довідник числової послідовності А. Слоуна. У ньому описано понад 2300 цілочисельних числових послідовностей, кожна з яких має свій номер.
Розглянемо числову послідовність:
; 2; 5; 14; 42; 132; 429;..., Що має в довіднику номер 577.
Члени цієї послідовності названі числами Каталана. Вони не так добре відомі, як числа Фібоначчі, але мають особливість також з'являтися в різних завданнях, особливо в комбінаторних. У 1971 році математик Генрі Гулд опублікував бібліографію на застосування чисел Каталана в 243 випадках. У багатьох з них найвідоміші математики і не підозрювали, що мають справу з цими числами.
Першим з числами Каталана зіткнувся Леонард Ейлер. Він підрахував, скількома способами опуклий багатокутник може бути розділений на трикутники непересічними діагоналями.
Як приклад можна привести способи розбиття на трикутники наступних фігур: квадрата, п'ятикутника і шестикутника.
Зауважимо, що в кожному з випадків? незалежно від кількості сторін n- кутника, число діагоналей одно (n - 3), а число трикутників (n - 2).
Кількість різних комбінацій зазначеного виду для кожного з багатокутників є перші чотири члени (якщо починати з трикутника) послідовності Каталана.
1 2 5 14
і т. д.
Ейлер, використовуючи метод математичної індукції, який, за його словами, тут виявився трудомістким, отримав таку формулу:
Дуже прості рекурентні формули виходять, якщо помістити на початку послідовності ще одну одиницю.
Нехай k - останнім обчислене число Каталана, а n - номер наступного числа.
Тоді це число обчислюється за формулою:.
Сучасник Ейлера, Йоганн Андрес фон Сегнер, отримав загадкову рекуррентную формулу для послідовності Каталана види: 1; 1; 2; 5;...
Запишемо в ряд все вже знайдені числа Каталана, а під ними запишемо ті ж числа у зворотному порядку. Помножимо кожне верхнє число на відповідне нижнє і складемо отримані твору; результат і буде наступним числом Каталана.
1. 1 2 5 +14
*
+5 2 Будiвництво 1 1
14 + 5 + 4 +5 +14=42
Тепер повернемося до задачі про ...
