>
|| x0 - x * ||
і, отже, xn? x * при n? ?. Більше того, для довільного q? (0, 1) знайдеться? gt; 0 таке, що ||? (x - x *) ||? q || x - x * || при || x - x * ||? ?. Але тоді, якщо || x n - x * || ?? , То || x n + 1 - x * ||? q || x n - x * ||. З останнього твердження очевидним чином випливає потрібне співвідношення || xn - x * ||? Cq n.
. Метод січних
Можна пов'язати завдання послідовності з якою-небудь сходящейся до нуля векторної послідовністю, наприклад, з послідовність нев'язок або поправок. Так, вважаючи, де j=1, ... n, ak=1,2, ..., приходимо до найпростішого методу січних - узагальненню скалярного методу січних:
, (20)
де
,
=1,2,3, ....
Цей метод є двухшаговим і вимагає завдання двох початкових точок і. При п=1 збіжність методу (20) має порядок. Можна розраховувати на таку ж швидкість і в багатовимірному випадку.
До методу січних так само, як і до методу Ньютона, можна застосувати покрокову апроксимацію зворотних матриць на основі методу Шульца. Розрахункові формули цієї модифікації легко виписати, замінивши в сукупності формул ААМН (аппроксімаііонний аналог методу Ньютона)
матрицю на матрицю з (20).
9. Метод Стефенс
Обчислення за методом Стеффенса виробляють за формулами
,
,
де.
Чудово те, що хоча цей метод не вимагає обчислення похідних і на відміну від методу січних є однокроковим, він, як і метод Ньютона, має властивість квадратичної збіжності. Правда, як і в методі Ньютона, його застосування утруднене необхідністю вибору хорошого початкового наближення.
Мабуть, для вирішення нелінійних систем виду метод Стеффенса частіше здається кращим вибором, ніж метод січних або метод помилкового положення.
Як і в одновимірному випадку методи січних і Стеффенс втрачають стійкість поблизу рішення (фактично це відбувається при потраплянні наближення в область невизначеності рішення). Тому при використанні цих методів важливо вчасно припинити виконання ітерацій.
10. Уточнення методу Ньютона для випадку кратного кореня
Метод Ньютона для випадку кратного кореня володіє лише лінійною швидкістю збіжності. Щоб зберегти квадратичну збіжність його модифікують наступним чином:
,
де m - кратність кореня.
Як правило, значення mv невідомо. Використовуючи метод Ньютона, можна дізнатися кратність кореня. Для цього будемо задавати значення m=1,2,3 і обчислювати значення кореня із заданою точністю, одночасно підраховуючи кількість ітерацій для кожного значення m. При деякому значенні m число ітерацій буде мінімальним. Це значення m і є кратність кореня.
ньютон хорда корінь рівняння
Висновок
У даному рефераті був представлений метод Ньютона. Якщо оцінювати якість методу по числу необхідних ітерацій, то слід було б зазначити, що цей метод варто застосовувати завжди, коли він сходиться. Труднощі використання методу Ньютона не тільки зберігаються при застосуванні його до вирішення систем нелінійних рівнянь, а й поглиблюються через виникає проблеми обчислення на кожній ітерації матриці з приватних похідних, що саме по собі може виявитися досить складною справою.
Існує велика кількість модифікацій методу Ньютона, що дозволяють в тих чи інших ситуаціях знизити його трудомісткість або уникнути необхідності обчислення похідних. Такі модифікації були також розглянуті в даному рефераті: спрощений метод Ньютона, метод локального положення, метод січних, метод Стефенс, уточнення методу Ньютона для випадку кратного кореня.
Список використаних джерел
1.Інтернет джерело Radyx
2.Шікін Є.В., Чхартішвілі А.Г. Математичні методи і моделі в управлінні: Учеб. посібник.- М .: Справа, 2000. - 440 с.
.Амосов А.А., Дубинський Ю.А., Копчёнова Н.В. Обчислювальні методи для інженерів: Учеб. посібник.- М .: Вища. Школа, 1994. - 544 с.
.Інтернет джерело - Copyright © 1993-2015. Компанія Softline.
.Демідовіч Б.П., Марон І.А., Шувалова Е.З. Чисельні методи аналізу. 2-е изд., Испр. і доп.- М .: Держ. изд-во фіз.-мат. Літ., 1963. - 400 с.
