k - 1))/(f (x (k)) - f (x (k- 1)))? x (k + 1)
) У загальному випадку збіжність за методом Ньютона відбувається швидше, ніж за методом січних, і крім того не потрібно знаходження відразу двох початкових наближень до шуканого корню. Але при використанні методу січних не вимагається обчислення похідної.
) Умова закінчення ітерацій в методі січних залишається тим же, що і в класичному методі Ньютона: | x (k + 1) - x (k) |? ?.
4. Метод хорд для нелінійного рівняння
У методі хорд похідна f '(x (k)) методу Ньютона замінюється на ще більш просту (у порівнянні з методом січних) розділену різницю (f (x (k)) - f (x (0 )))/(x (k) - x (0))
У результаті формула методу хорд приймає вигляд:
x (k + 1)=x (k) - f (x (k)) (x (k) - x (0))/(f (x (k)) - f ( x (0))), k=1, 2, ... (14)
причому x (0), x (1) - деякі початкові наближення до кореня. Геометрично розглянутий метод означає заміну на кожній ітерації графіка функції y=f (х) на хорду, тобто через точки (x (0), f (x (0))) і (x (k), f (x (k) )) проводимо хорду
y=(f (x (k)) - f (x (0))) (x - x (k))/(x (k) - x (0)) + f ( x (k))
і знаходимо точку її перетину з віссю OX, що відповідає рішенню лінійного рівняння:
(f (x (k)) - f (x (0))) (x - x (k))/(x (k) - x (0)) + f (x ( k))=0
Висловлюючи звідси x, отримуємо:
x=x (k) - f (x (k)) (x (k) - x (0))/(f (x (k)) - f (x (0)) )? x (k + 1)
Зауваження Критерій закінчення ітерацій в методі хорд має вигляд:
| x (k + 1) - x (k) |? ?
. Спрощений метод Ньютона
Цей метод має вигляд
x (k + 1)=x (k) - f (x (k))/f '(x (0)), k=0, 1, 2, ... (15 )
де x (0) - деяке початкове наближення до кореня.
Критерій закінчення даного ітераційного процесу має вигляд:
| x (k + 1) - x (k) |? ?
До переваг цього методу слід віднести простоту його реалізації та можливість узагальнення на системи рівнянь, а до недоліків - більш повільну в порівнянні з методом Ньютона збіжність.
6. Модифікація методу Ньютона для системи двох рівнянь
Для вирішення системи з двох рівнянь
використовується наступна модифікація методу Ньютона:
(16)
де (x 1 (0), x 2 (0)) - деяке початкове наближення до шуканого корню.
Зауваження 2.7 1) У даному методі на відміну від класичного методу Ньютона зворотну матрицю потрібно підраховувати тільки один раз.
) Умова закінчення ітераційного процесу має вигляд: || x (k + 1) - x (k) ||? ?
. Метод локального положення
Нехай f двічі неперервно диференційовна, а x * - невироджена стаціонарна точка. Тоді знайдеться околиця V x * точки x * така, що наближення xn + 1=xn - [f ?? (xn)] - 1f? (Xn), розпочаті з довільної початкової точки x 0? V x *, сверхлінейно сходяться до x *.
Доказ. Очевидно, F=f? х C 1 і тому
lim x? x * || F? (x) - F? (x *) ||=0. (17)
Оскільки F? (x *) невирождени, в силу (17) при x достатньо близьких до x * невирождени і оператор F? (x) і більш того,
x? x * || [F? (x)] - 1 - [F? (x *)] - 1 ||=0.
Тому, зокрема, при x достатньо близьких до x *
|| [F? (x)] - 1 ||? C. (18)
Далі, в силу того, що F дифференцируема, а x * - стаціонарна точка,
F (x)=F (x *) + F? (x *) (x - x *) + o (x - x *)=F? (x *) (x - x *) + o (x - x *),
Але тоді в силу (18)
x - x * - [F? (x)] - 1 F (x)=[F? (x)] - 1 F? (x) (x - x *) - [F ? (x)] - 1 F (x)== [F? (x)] - 1 [F? (x) (x - x *) - F (x)]=o (x - x *).
Або
- [F? (x)] - 1 F (x) - x *=o (x - x *).
Зокрема, при x=xn
xn + 1 - x *=xn - [F? (xn)] - 1F (xn) - x *? (xn - x *)=o (xn - x *). (19)
Візьмемо тепер як V x *, наприклад, околиця {x? R m: ||? (x - x *) ||? || x - x * ||/2}. В силу (19), очевидно, якщо x 0? V x *, то
|| x n + 1 - x * ||? 1/2
|| x n - x * ||?...? 1/(2 n + 1)
