, то корінь x * називається кратним коренем.
Геометрично корінь рівняння (2.1) є точка перетину графіка функції y = f ( x ) з віссю абсцис. На рис. 2.1 зображено графік функції y = f ( x ), що має чотири кореня: два простих ( x і x ) і два кратних ( x і x ).
В
Рис. 2.1. br/>
Більшість методів рішення рівняння (2.1) орієнтовано на відшукання простих коренів рівняння (2.1).
В
2.2 Основні етапи відшукання рішення
У процесі наближеного відшукання коренів рівняння (2.1) зазвичай виділяють два етапи: локалізація (або відділення ) кореня і уточнення кореня . p> Локалізація кореня полягає у визначенні відрізка [ a , b ], що містить один і тільки один корінь. Не існує універсального алгоритму локалізації кореня. У деяких випадках відрізок локалізації може бути знайдений з фізичних міркувань. Іноді зручно буває локалізувати корінь за допомогою побудови графіка або таблиці значень функції y = f ( x ). На наявність кореня на відрізку [ a , b ] вказує відмінність знаків функції на кінцях відрізка. Підставою для цього служить наступна теорема математичного аналізу.
Теорема 2.1. Якщо функція f неперервна на відрізку [ a , b ] і приймає на його кінцях значення різних знаків, так, що f ( a ) f ( b ) <0, то відрізок [ a , b ] містить принаймні один корінь рівняння f ( x ) = 0.
Однак, корінь парною кратності таким чином локалізувати не можна, так як в округа такого кореня функція f ( x ) має постійний знак.
На етапі уточнення кореня обчислюють наближене значення кореня з заданою точністю e > 0. Наближене значення кореня уточнюють за допомогою різних ітераційних методів. Суть цих методів полягає в послідовному обчисленні значень x 0 , x 1 , ..., x n , ..., Які є наближеннями до кореня x * . p> 2.3 Метод розподілу відрізка навпіл (метод дихотомії, метод бисекции)
Метод розподілу відрізка навпіл є найпростішим і надійним способом вирішення нелінійного рівняння. p> Нехай з попереднього аналізу відомо, що корінь рівняння (2.1) знаходиться на відрізку [ a 0 , b 0 ], тобто x < sup> * [ a 0 , b 0 ], так, що f ( x * ) = 0.
Нехай функція f ( x ) неперервна на відрізку [ a 0 , b 0 ] і приймає на кінцях відрізка значення різних знаків, тобто <В
f ( a 0 ) f ( b 0 ) <0. (2.2)
Розділимо відрізок [ a 0 , b 0 ] навпіл. Отримаємо точку x 0 =. Обчислимо значення функції в цій точці: f ( x 0 ). Якщо f ( x 0 ) = 0, то x 0 - шуканий корінь , і задача вирішена. Якщо f ( x 0 ) 0, то f ( x 0 ) - Число певного знака: f ( x 0 )> 0, або f ( x 0 ) <0. Тоді або на кінцях відрізка [ a 0 , x 0 ], або на кінцях відрізка [ x 0 , b 0 ] значення функції f ( x ) мають різні знаки. Позначимо такий відрізок [ a 1 , b 1 ]. Очевидно, що x * [ a 1 , b 1 ], і довжина відрізка [ a 1 , b 1 ] в два рази менше, ніж довжина відрізка [ a 0 , b 0 ]. Поступимо аналогічно з відрізком [ a 1 , b 1 ]. В результаті отримаємо або корінь x * , або новий відрізок [ a 2 , b 2 ], і т.д. (Рис. 2.2). br/>В
Рис. 2.2
Середина n-го відрізка x n =. Очевидно, що довжина відрізка [ a n , b n ] дорівнюватиме, а т. к. x * [ a n , b n ], то
| x n - X * | ВЈ ВЈ. (2.3)
Похибка методу. Оцінка (2.3) характеризує похибка методу розподілу відрізка навпіл і вказує на швидкість збіжності: метод сходиться зі швидкістю геометричної прогресії, знаменник якої q = 1/2. Зауважимо, що оцінка (2...
