.3) є апріорної.
Критерій закінчення. З співвідношення (2.3) випливає, що при заданій точності наближення e обчислення закінчуються, коли буде виконано нерівність b n - a n <2 e або нерівність n > log 2 (( b 0 - A 0 )/ e ) - 1. Таким чином, кількість ітерацій можна визначити заздалегідь. За наближене значення кореня береться величина x n . br/>
Приклад 2.1.
Знайдемо наближено x = з точністю пЃҐ пЂ = 0.01. Це завдання еквівалентна рішенням рівняння x 5 - 2 = 0, або знаходженню нуля функції f ( x ) = x 5 - 2. У якості початкового відрізка [ a 0 , b 0 ] візьмемо відрізок [1, 2]. На кінцях цього відрізка функція приймає значення з різними знаками: f (1) <0, f (2)> 0. p> Знайдемо число n поділок відрізка [1, 2], необхідних для досягнення необхідної точності. Маємо:
| x n - X * | ВЈ = ВЈ 10 -2 ,
n6.
Отже, не пізніше 6-го розподілу знайдемо з необхідною точністю, В»1.1484. Результати обчислень представлені в таблиці 2.1. p> Таблиця 2.1
n
0 1 2 3 4 5 6
a n
1.0000 1.0000 1.0000 1.1250 1.1250 1.1406 1.1406
b n
2.0000 1.5000 1.2500 1.2500 1.1875 1.1875 1.1562
x n
1.5000 1.2500 1.1250 1.1875 1.1406 1.1562 1.1484
Зн f ( a n )
- ----- /Td>
Зн f ( b n )
+ + + + + + + /Td>
f ( x n )
5.5938 0.7585 -0.2959 0.1812 -0.0691 0.0532 -0.0078
b n - a n
1.0000 0.5000 0. 2500 0.1250 0.0625 0.0312 0.0156
2.4 Метод простих ітерацій
Нехай рівняння (2.1) можна замінити еквівалентним йому рівнянням
В
x = j ( x ) . (2.4)
Наприклад, рівняння - 0.5 = 0 можна замінити еквівалентним йому рівнянням x = 0.5sin x .
Виберемо будь-яким чином початкове наближення x 0 . Обчислимо значення функції j ( x ) при x = x 0 і знайдемо уточнене значення x 1 = J ( x 0 ) . Підставимо тепер x 1 у рівняння (2.4) і отримаємо нове наближення x 2 = j ( x 1 ) і т. д. Продовжуючи цей процес необмежено, отримаємо послідовність наближень до кореня:
x n +1 = j ( x n ) . (2.5)
Формула (2.5) є розрахунковою формулою методу простих ітерацій. p> Якщо послідовність { x n } сходиться при n В®, тобто існує
В
x * = X n , (2.6)
і функція j ( x ) неперервна, то, переходячи до межі в (2.5) та враховуючи (2.6), отримаємо:
В
x * = x n = j ( x n - 1 ) = j ( x n - 1 ) = j ( x < sup> * ) .
Таким чином, x * = j ( x * ) , отже, x * - Корінь рівняння (2.4). p> Збіжність методу . Збіжність методу простих ітерацій встановлює наступна теорема. <В
Теорема 2.2. Якщо в інтервалі, що містить корінь x * рівняння (2.4), а також його послідовні наближення x 0 , x 1 , ..., x < sub> n , ..., Які обчислюють за формулою (2.5), виконана умова:
| j ' (x) | ВЈ q <1, (2.7)
то x * = X n .
т. е. ітераційний процес сходиться і справедлива наступна оцінка похибки:
| x n - X * | ВЈ q ...
