правому краї ще одне рівняння крайових умов:
N в€™ Y (0) = n,
де матриця N записується з тих же міркувань додаткових лінійно незалежних параметрів на правому краї, а вектор n невідомий.
Для правого краю теж справедлива відповідна система рівнянь:
в€™ Y (1) =.
Запишемо Y (1) = K (1 в†ђ 0) в€™ Y (0) + Y * (1 в†ђ 0) і підставимо в останню систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
в€™ [K (1 в†ђ 0) в€™ Y (0) + Y * (1 в†ђ 0)] =,
в€™ K (1 в†ђ 0) в€™ Y (0) = - в€™ Y * (1 в†ђ 0),
в€™ K (1 в†ђ 0) в€™ Y (0) =,
в€™ K (1 в†ђ 0) в€™ Y (0) =.
Запишемо вектор Y (0) через зворотну матрицю:
Y (0) = в€™
і підставимо в попередню формулу:
В
в€™ K (1 в†ђ 0) в€™ в€™ =.
Таким чином, ми отримали систему рівнянь виду:
В в€™ =, br/>
де матриця У відома, вектори u і s відомі, а вектори m і t невідомі.
Розіб'ємо матрицю В на природні для нашого випадку 4 блоки і отримаємо:
в€™ =,
звідки можемо записати, що
В11 в€™ u + B12 в€™ m = s,
B21 в€™ u + B22 в€™ m = t.
Отже, шуканий вектор m обчислюється за формулою:
m = B12 в€™ (s - B11 в€™ u).
А шуканий вектор n обчислюється через вектор t:
t = B21 в€™ u + B22 в€™ m,
n = t + N в€™ Y * (1 в†ђ 0).
У випадку "жорстких" диференціальних рівнянь пропонується виконувати почергове порядкове ортонормірованіе.
Запишемо наведену вище формулу
в€™ K (1 в†ђ 0) в€™ в€™ =
в вигляді:
в€™ K (1 в†ђ x2) в€™ K (x2 в†ђ x1) в€™ K (x1 в†ђ 0) в€™ в€™ =.
Цю формулу можна записати у вигляді поділу лівій частині на твір матриці на вектор:
[в€™ K (1 в†ђ x2)] в€™ {K (x2 в†ђ x1) в€™ K (x1 в†ђ 0) в€™ в€™} = br/>
[ матриця] в€™ {вектор } = Вектор
Цю групу лінійних алгебраїчних рівнянь можна піддати прогресивним ортонормірованію, яке зробить строчки [матриці] ортонормированного, {вектор} торкнуться не буде, а вектор отримає перетворення. Тобто отримаємо:
[в€™ K (1 в†ђ x2)] {K (x2 в†ђ x1) в€™ K (x1 в†ђ 0) в€™ в€™} = br/>
Тут слід сказати, що підвектора t піддавати перетворенню не потрібно, так як неможливо, так як його первинне значення не відомо. Але підвектора t нам виявляється і не потрібен для вирішення завдання.
Далі запишемо:
[[в€™ K (1 в†ђ x2)] в€™ K (x2 в†ђ x1)] {K (x1 в†ђ 0) в€™ в€™} = p> [ матриця] {вектор } = Вектор
Аналогічно і цю групу лінійних алгебраїчних рівнянь можна піддати прогресивним ортонормірованію, яке зробить строчки [матриці] ортонормированного, {Вектор} торкнуться не буде, а вектор отримає перетворення. Тобто отримаємо:
[[в€™ K (1 в†ђ x2)] K (x2 в†ђ x1)] {K (x1 в†ђ 0) в€™} =. br/>
І так далі.
У результаті почергового ортонормірованія отримаємо:
В в€™ =,
в€™ =.
Отже, шуканий вектор m обчислюється за формулою:
m = B12 в€™ (S - B11 в€™ u). br/>
7 Формула для початку рахунки методом прогонки С.К.Годунова
Ця формула обраховано на комп'ютерах в кандидатській дисертації.
Розглянемо проблему методу прогонки С.К.Годунова.
Припустимо, що розглядається оболонка ракети. Це тонкостінна труба. Тоді система лінійних звичайних диференціальних рівнянь буде 8-го порядку, матриця A (x) коефіцієнтів матиме розмірність 8х8, шукана вектор-функція Y (x) матиме розмірність 8х1, а матриці крайових умов будуть прямокутними горизонтальними розмірності 4х8.
Тоді в методі прогонки С.К.Годунова для такого завдання рішення шукається в наступному вигляді:
Y (x) = Y (x) c + Y (x) c + Y (x) c + Y (x) c + Y * (x),
або можна записати в матричному вигляді:
Y (x) = Y (x) в€™ c + Y * (x),
де вектори Y (x), Y (x), Y (x), Y (x) - це лінійно незалежні вектора-рішення однорідної системи диференціальних рівнянь, а вектор Y * (x) - це вектор приватного рішення неоднорідної системи диференціальних рівнянь. p> Тут Y (x) = | | Y (x), Y (x), Y (x), Y (x) | | це матриця розмірності 8х4, а c це відповідний вектор розмірності 4х1із шуканих констант c, c, c, c.
Але взагалі то рішення для такої крайової задачі з розмірністю 8 (поза рамками методу прогонки С.К.Годунова) може складатися не з 4 лінійно незалежних векторів Y (x), а повністю з усіх 8 лінійно незалежних векторів-рішень однорідної системи диференціальних рівнянь:
Y (x) = Y (x) c + Y (x) c + Y (x) c + Y (x) c +
+ Y (x) c + Y (x) c + Y (x) c + Y (x) c + Y * (x),
І якраз трудність і проблема методу прогонки С.К.Годунова і полягає в тому, що рішення шукається тільки з половиною можливих векторів і констант і проблема в те, що таке рішенн...
