0) = u,
U в€™ [ K (0 в†ђ x) в€™ Y (x) + Y * (0 в†ђ x)] = u,
[U в€™ K (0 в†ђ x)] в€™ Y (x) = u - U в€™ Y * (0 в†ђ x). p> і
V в€™ Y (1) = v,
V в€™ [ K (1 в†ђ x) в€™ Y (x) + Y * (1 в†ђ x)] = v,
[V в€™ K (1 в†ђ x)] в€™ Y (x) = v - V в€™ Y * (1 в†ђ x). br/>
Те Тобто отримуємо два матричних рівняння крайових умов, перенесені в розглянуту точку x:
[U в€™ K (0 в†ђ x)] в€™ Y (x) = u - U в€™ Y * (0 в†ђ x),
[V в€™ K (1 в†ђ x)] в€™ Y (x) = v - V в€™ Y * (1 в†ђ x). br/>
Ці рівняння аналогічно об'єднуються в одну систему лінійних алгебраїчних рівнянь з квадратною матрицею коефіцієнтів для знаходження рішення Y (x) у будь розглянутій точці x:
в€™ Y (x) =.
У випадку "жорстких" диференціальних рівнянь пропонується наступний алгоритм.
Використовуємо властивість перемножаемості матриць Коші:
K (x в†ђ x) = K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x) в€™ ... в€™ K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x)
і запишемо вирази для матриць Коші, наприклад, у вигляді:
K (0 в†ђ x) = K (0 в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x),
K (1 в†ђ x) = K (1 в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x),
Тоді перенесені крайові умови можна записати у вигляді:
[U в€™ K (0 в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x)] в€™ Y (x) = u - U в€™ Y * (0 в†ђ x),
[V в€™ K (1 в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x)] в€™ Y (x) = v - V в€™ Y * (1 в†ђ x)
або у вигляді:
[U в€™ K (0 в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x)] в€™ Y (x) = u *,
[V в€™ K (1 в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x)] в€™ Y (x) = v *. br/>
Тоді розглянемо ліве перенесене крайове умова:
[U в€™ K (0 в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x)] в€™ Y (x) = u *,
[U в€™ K (0 в†ђ x)] в€™ {K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x) в€™ Y (x)} = u *,
[ матриця] в€™ {вектор} = вектор.
Цю групу лінійних алгебраїчних рівнянь можна піддати прогресивним ортонормірованію, яке зробить строчки [матриці] ортонормированного, {Вектор} торкнуться не буде, а вектор отримає перетворення. Тобто отримаємо:
[U в€™ K (0 в†ђ x)] в€™ {K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x) в€™ Y (x)} = u *.
Далі послідовно можна записати:
[[ U в€™ K (0 в†ђ x)] в€™ K (x в†ђ x)] в€™ {K (x в†ђ x) в€™ Y (x)} = u *,
[ матриця] в€™ {вектор} = вектор.
Аналогічно і цю групу лінійних алгебраїчних рівнянь можна піддати прогресивним ортонормірованію, яке зробить строчки [матриці] ортонормированного, {Вектор} торкнуться не буде, а вектор отримає перетворення. Тобто отримаємо:
[[ U в€™ K (0 в†ђ x)] в€™ K (x в†ђ x)] в€™ {K (x в†ђ x) в€™ Y (x)} = u *,
Далі аналогічно можна записати:
[[[ U в€™ K (0 в†ђ x)] в€™ K (x в†ђ x)] в€™ K (x в†ђ x)] в€™ {Y (x)} = u *,
[ матриця] в€™ {вектор} = вектор . p> Аналогічно і цю групу лінійних алгебраїчних рівнянь можна піддати прогресивним ортонормірованію, яке зробить строчки [матриці] ортонормированного, {Вектор} торкнуться не буде, а вектор отримає перетворення. Тобто отримаємо:
[[[ U в€™ K (0 в†ђ x)] в€™ K (x в†ђ x)] в€™ K (x в†ђ x)] в€™ Y (x) = u *. br/>
Аналогічно можна проортонорміровать матричне рівняння крайових умов і для правого краю незалежно від лівого краю. p> Далі проортонормірованние рівняння крайових умов:
[U в€™ K (0 в†ђ x)] в€™ Y (x) = u *,
[V в€™ K (1 в†ђ x)] в€™ Y (x) = v *
як і раніше об'єднуються в одну звичайну систему лінійних алгебраїчних рівнянь з квадратною матрицею коефіцієнтів для знаходження шуканого вектора Y (x):
в€™ Y (x) =.
6 Метод додаткових крайових умов
Цей метод ще обліковано на комп'ютерах.
Запишемо на лівому краї ще одне рівняння крайових умов:
M в€™ Y (0) = m.
У Як рядків матриці M можна взяти ті крайові умови, тобто вираження тих фізичних параметрів, які не входять в параметри крайових умов лівого краю L або лінійно незалежні з ними. Це цілком можливо, оскільки у крайових завдань стільки незалежних фізичних параметрів яка розмірність завдання, а в параметри крайових умов входить тільки половина фізичних параметрів задачі. Тобто, наприклад, якщо розглядається задача про оболонці ракети, то на лівому краї можуть бути задані 4 переміщення. Тоді для матриці М можна взяти параметри сил і моментів, яких теж 4, так як повна розмірність такого завдання - 8. Вектор m правій частині невідомий і його треба знайти і тоді можна вважати, що крайова задача вирішена, тобто зведено до задачі Коші, тобто знайдений вектор Y (0) з виразу:
в€™ Y (0) =,
то є вектор Y (0) знаходиться з рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь з квадратною невиродженому матрицею коефіцієнтів, що складається з блоків U і M.
Аналогічно запишемо на...
