льного числення були закладені в роботах І. Ньютона (1643-1727) і Г. Лейбніца (1646-1716), які в
- х роках XVII століття відволіклися від згаданих приватних прикладних задач і встановили зв'язок між інтегральним і диференціальним численням. Це дозволило Ньютону, Лейбніцу і їх учням розвинути техніку інтегрування. Свого теперішнього станом методи інтегрування в основному досягли в роботах Л. Ейлера (1707-1783). Розвиток методів завершили праці М. В. Остроградського (1801-1861) і П. Л. Чебишева (1821-1894).
Історично під інтегралом розуміли площа криволінійної трапеції, утвореної заданої кривої f (x) і віссю координат. Для знаходження цієї площі відрізок ab розбивали на n необов'язково рівних частин і будували ступінчасту фігуру (на малюнку 1.1 вона заштрихована). Її площа дорівнює
(1.1)
де yi - значення функції f (x) в i-тій точці (), а dx i=xi + 1? x i.
Г. Лейбніц в кінці XVII століття позначив межу цієї суми як
(1.2)
Так як на той момент часу поняття межі ще не сформувалося, тому Лейбніц ввів новий символ для суми нескінченного числа доданків - видозмінену курсивном латинську «S» - перша букву лат. summa (сума).
Слово «інтеграл» походить від лат. integralis - цілісний. Це назва була запропонована учнем Лейбніца Іоганном Бернуллі (1667-1748), щоб відрізнити «суму нескінченного числа доданків» від звичайної суми.
Надалі позначення Лейбніца удосконалив Ж. Фур'є (1768-1830). Він явно став вказувати початкове і кінцеве значення x:
(1.3)
ввівши тим самим сучасне позначення певного інтеграла.
У теорії певних інтегралів інтегрування розглядається як процес узагальнення підсумовування на випадок нескінченно більшого числа нескінченно малих виразів. Таким чином, результатом певного інтегрування (у разі його можливості) є якесь число (в узагальненнях, нескінченність).
§4 Грегуар де Сен-Венсан: знаходження площі під гіперболою
Грегуа? р де Сен-Венса? н (фр. Gr? goire de Saint-Vincent, 22 березня 1584, Брюгге - 5 червня 1667, Гент) - бельгійський математик, єзуїт.
Закінчив університет в Дуе (1600 рік). У 1605 році в Римі став єзуїтом, вивчав там праці Галілея і Клавіуса. Після смерті Клавіуса (+1612) повернувся в рідну Фландрію. Був професором в Антверпені (1617-1620) і Льовене (1621-1625).
Головне твір де Сен-Венсана: «Геометричний працю про квадратуру кола і конічних перетинів» (лат. Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni, закінчено в 1629 році, опублікований в 1647 році). Серед його значних відкриттів:
Обчислення площі під гіперболою.
Розглянемо равнобочная гіперболу Візьмемо на гіперболі чотири точки A, B, A , B raquo ;, так щоб a, b, a , b отримали пропорцію a: b=a : b raquo ;. Тоді криволінійні трапеції AabB і A a b B будуть рівновеликими:
y
А
У
А '
В '
а b a? b? x
Розглянемо на гіперболі кілька точок, абсциси яких
0=1 x 1=q, x=q 2 ..., складають прогресії xk=qk, ... (1)
Отримаємо ряд криволінійних трапецій, площа кожної з яких дорівнює якомусь числу S, т.е.
Позначимо площу криволінійної трапеції, побудованої на відрізку
(x, xk) або (1, x) через Sk, відповідно S (x), тобто S (x) =, тоді отримаємо Sk=kS або S (x)=xS. (3)
Це говорить про те, що якщо абсциса x точки, ковзної по гіперболі, утворюють геометричну прогресію, то площі S (x), відповідних криволінійних трапецій утворюють арифметичну прогресію
, S, 2S, 3S, ..., xS, ...
Якщо позначимо через e таке число, для якого S (e)=1 і прийняти q=e1/n, де n - натуральне число, то отримуємо геометричну і арифметичну прогресії:
, e1/n, e2/n, ... EХ/n, ..., e, ...,
, S, 2S, 3S, ..., xS, ..., 1, ...
згідно (3) отримаємо: S (qn)=nS (q), тобто 1=nS (e1/n) або S (e1/n)=1/n
Узагальнюючи отриманий результат маємо:
(x)=або S (x)=
Це означає, що площа криволінійної трапеції над відрізком (1, х) осі абсцис, обмежена дугою равнобочной гіперболи, являє собою натуральний логарифм числа x.
§5 Метод Миколи Меркатора обчислення логарифмів
Близько 1686 математику Миколі Меркатор з Голштінії випадково вдалося, шляхом нескладного перетворення, знайти природ...
