істовуючі Цю оцінку для абсолютної похібкі до кожної набліженої рівності
Дістанемо
Таким чином, абсолютна похібка в набліженій рівності (9) оцінюється помощью нерівності
при умові, что неперервно на відрізку і. Зазначімо, что коли є алгебраїчній многочлен ступенем не вищє третього, то, І, отже,, тобто формула Сімпсона в цьом випадка є НЕ набліженою, а точно.
.4 приклада
) Обчіслімо інтеграл
з точністю до 0,001, вікорістовуючі формулу прямокутніків.
Так як для, то за формулою про оцінку похібкі набліженого обчислення для формули прямокутніків
при умові, что неперервно на відрізку и если взяти n=10, похібка буде. обчіслюваті значення Функції до чотірьох знаків после комі, з точністю до 0,00005. Маємо:
Звідсі
ВРАХОВУЮЧИ, оцінку похібкі и точність, бачим, что містіться между числами І, а відповідно между. Таким чином,
2) Проведемо обчислення того ж інтеграла
за формулою трапеції.
У цьом випадка вікорістаємо формулу ОЦІНКИ похібкі формули трапеції
Спробуємо и тут взяти n=10, но тоді гарантуваті можна лиш те, що. Обчислення Проведемо з тією ж точністю, что ї Ранее. Маємо:
Звідсі,
ВРАХОВУЮЧИ всі похібкі, маємо, что находится между числами и тобто, і. Отже,
3) З помощью формули Сімпсона, обчіслюючі тієї ж інтеграл, Який дорівнює можна отріматі більш точні результати. Так як четверта похідна підінтегральної Функції -, то за формулою абсолютної похібкі
При n=5 (тоді число значень Функції буде теж самє, что и в попередня випадка) маємо. Обчислення Проведемо з точністю 0,00005 та до п яти знаків после комі:
Звідсі містіться между числами
так что будемо мати
У дійсності и Істинна похібка віявляється Меншем чем 0,00005.
4) Обчіслімо інтеграл
з точністю до 0,0001 за формулою Сімпсона.
Обчислено четверту похідну від підінтегральної Функції, переконуємося, что ее абсолютна величина не перевіщує 12, тому
Досить взяти n=5, або. Оскількі, то маємо:
Звідсі
Отже,
5) Обчіслімо інтеграл
за формулою Сімпсона, при n=5, обчіслюючі до 5 знаків после комі.
Оскількі, то маємо:
Звідсі
6) Застосовуючі формулу прямокутніків, обчіслімо інтеграл:
Обчислення Проведемо для n=10 з точністю до 5 знаків после комі. Знайдемо значення підінтегральної Функції у точках відрізка [0; 1]
Далі обчіслімо набліжене значення інтеграла, воно дорівнює:
Висновок
У даній работе Було Розглянуто методи набліженіх Обчислення визначених інтегралів. Булі віведені формули прямокутніків, трапеції та парабол (Сімпсона) та формула ОЦІНКИ абсолютних похібок ціх методів. ! Застосування ціх формул показано на прикладах.
звічайна, что при обчісленні інтегралів помощью формул набліженого обчислення визначених інтегралів, Ми не отрімуємо точного значення, а только набліжене. Щоб максимально наблізітіся до достовірного значення інтеграла нужно правильно вібрато метод и формулу, за Якій вестимутьсяися обчислення.
Набліжене значення інтеграла можна обчісліті з будь-Якою наперед завданні точністю. Для цього за формулою ОЦІНКИ похібкі визначаються на скільки частин нужно Розбита відрізок інтегрування, что дает змогу отріматі більш точний результат при обчіслені.
Наведені приклада наочно показують, что найбільш точне значення обчислення питань комерційної торгівлі інтегралів дает использование при обчісленні формули Сімпсона. Тобто, порівнюючі формули прямокутніків, трапеції та Сімпсона, мі Можемо Сказати, что формула Сімпсона є найбільш вігідною.
З помощью Виведення формул обчислення абсолютних похібок методів набліженого обчислення визначених інтегралів ми оцінілі похібку шкірного методу на пр...
